¿Por qué es esto una prueba de que$\sqrt{2}$ irracional se titula como "descenso infinito"?

Question

Estoy leyendo este wikipedea artículo en la prueba de la irracionalidad de $\sqrt{2}$. Se utiliza el principio de infinito descenso. Yo lo entiendo como:

1. Asumimos $\sqrt{2}=\dfrac pq$ donde $p$ $q$ son algunos de los enteros positivos.
2. Tenemos $2q^2 = p^2 \implies$ $p$ es, incluso, es decir, $p=2r$ para algún entero positivo $r$.
3. Ahora tenemos $2q^2=(2r)^2 \implies q$ también son iguales, es decir, $q=2s$ para algún entero positivo $s$.

A partir de los pasos 1,2 y 3 llegamos a la conclusión de que tanto $p$ $q$ ha $2$ como su factor de por lo menos una vez. Así que podemos decir $\sqrt{2}=\dfrac pq = \dfrac rs$.

Ahora podemos repetir los pasos 1,2 y 3 con $\sqrt{2}= \dfrac rs$. Finalmente esto implica que intezers $r$ $s$ también tiene 2 como su factor de al menos una vez, o $r=2r_1$$s=2s_2$. Recordando $p=2r$ $q=2s$ implica que el $p$ $q$ ha $2$ como su factor de por lo menos dos veces.

El hecho destacable es que se pueden repetir los pasos 1,2 y 3 número infinito de veces, lo que implica que $p$ $q$ tienen 2 como su factor número infinito de veces, pero esto no puede ser para cualquier finito $p$$q$, es decir, su no existe ningún intezer que puede tener 2 como factor número infinito de veces. Así llegamos a la conclusión de que no existe en $p$ $q$ que satisface $\sqrt 2 = \dfrac pq$, por lo tanto $\sqrt 2$ es irracional.

Pregunta 1: ¿entiendo que la prueba correctamente?

Pregunta 2: he observado que en esta prueba en wikipedea se titula como Prueba por el descenso infinito, donde no se utiliza el concepto de infinito descenso. Así que ¿por qué es titulado como Prueba por el descenso infinito?

Answer 1

Parece que la primera prueba de que está conectado, y que se transcribe en la pregunta, es un comprobante por el descenso infinito.

La prueba en el segundo enlace no es un comprobante por el descenso infinito; es más o menos formulada como una prueba de la no existencia de un mínimo de contraejemplo. Un no hasta que, puesto que la hipótesis no es que el par $(a,b)$ es mínima, pero que es reducido (no tiene factores comunes); como se ha dicho, depende del resultado preliminar que todos los números racionales pueden representarse mediante una reducción de la fracción. Pero esa dependencia podría evitarse mediante la reformulación asumir un contraejemplo $(a,b)$ con (digamos) $a+b$ mínimo; claramente esto implica fácilmente que $a/b$ es reducido. También tenga en cuenta el reducedness no se utiliza en ningún lugar excepto en la final a detonar la contradicción; minimality habría hecho lo bastante bien para ese propósito.

A pesar de la cercanía en el espíritu, una prueba por infinito descenso no es la misma como prueba por la no-existencia de un mínimo de contraejemplo. El ex establece desde cualquier contraejemplo una (imposible) infinito descendente de la cadena de contraejemplos. Claramente esto implica que una mínima contraejemplo no puede existir. Pero una prueba de la no-existencia de un mínimo contraejemplo sólo se debe derivar una contradicción a partir de la supuesta existencia de un mínimos de contraejemplo. La contradicción puede, pero no tiene que derivar de la construcción de una aún más pequeña contraejemplo. Sólo si ese es el caso, y, además, los minimality no se utiliza en la construcción de sí mismo, se puede convertir la prueba en un infinito de descenso. Dado que por lo tanto las pruebas por infinito descenso hay más fácil que por la no-existencia de un mínimo de contraejemplo, posiblemente más difícil, y, en todo caso, invariablemente, termina con la no muy elegante", uno puede repetir esta construcción de forma indefinida, dando lugar a un descenso infinito, lo cual es imposible", que no son muy populares hoy en día.

Pruebas por la no-existencia de un mínimo contraejemplo son, por supuesto, muy cerca de las pruebas por inducción así, más precisamente de una prueba por una fuerte inducción de un estado de cuenta "para cualquier $n$ no hay contraejemplos a la etapa de $n$". Pero que en realidad no era la pregunta aquí.

Answer 2

Respuesta a la Pregunta 1: Sí, que es una versión de la más comúnmente ("Pitágoras") la prueba de la irracionalidad de la $\sqrt 2$.

Respuesta a la Pregunta 2: el Uso de la prueba de que usted da, usted está construyendo dos infinito, descendente secuencias de $p_i,q_i$ de los números naturales en varias ocasiones la extracción de su común factor $2$. Dado que hay sólo un número finito de números naturales a menos de un determinado número natural (en particular, a menos que el original $p$$q$), se ha establecido un imposible infinito descenso, por lo que la clasificación de la prueba como una prueba por infinito descenso es del todo correcto.