Locus de un punto en un segmento de longitud fija cuyos puntos finales se deslizan a lo largo de líneas ortogonales

Question

Supongamos que tenemos algún segmento $AB$ de longitud constante que se desliza de tal manera que sus puntos finales se mueven a lo largo de líneas ortogonales. Dejemos que $P$ sea un punto en el segmento para que $|AP| = a$ y $|PB| = b$ . ¿Cómo podemos encontrar la curva a lo largo de la cual $P$ ¿Movimientos?

Estaba tratando de escribir líneas $ax + by = c$ ya que esta es ortogonal a la otra línea, sabemos que la normal a la ortogonal debe ser $N = (-b,-a)$ y así la ecuación de la otra línea es de la forma $-b x - a y + d = 0$ . Ahora, señala $A$ yacen en uno de ellos y $B$ está en la otra línea. ¿Debería resolver la ecuación $d(P,A) + d(P,B) = a+ b $ ? ¿Estoy en el camino correcto?

Answer 1

Aquí hay una ilustración de mi comentario, aunque he intercambiado las posiciones de $A$ y $B$ (por razones de anotación que deberían quedar claras en breve).

Podemos usar el ángulo ( $ \theta $ ) que el segmento hace con el $x$ -para parametrizar las coordenadas de los puntos finales. Por supuesto, lo importante son las coordenadas del punto $P$ ...es decir...

$$P = (a \cos\theta , b \sin\theta ) \tag {1}$$

Uno podría (¿debería?) reconocer esto como la parametrización de la elipse centrada en el origen con radios $a$ y $b$ .

La forma no paramétrica de esta ecuación es, por supuesto,

$$ \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1 \tag {2}$$

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La generalización al caso de un par arbitrario de líneas perpendiculares es sencilla. Deje que las líneas se encuentren en $Q = (x_0, y_0)$ y dejar que la línea que contiene el punto de deslizamiento $B$ hacer el ángulo $ \phi $ con el $x$ -eje. Podemos transformar la ecuación $(2)$ en la ecuación de esta elipse con sustituciones correspondientes a la rotación por $ \phi $ seguido de la traducción de $x_0$ y $y_0$ .

$$ \text {rotation:}\; \begin {cases} x \to \phantom {-}x \cos\phi + y \sin \phi \\ y \to -x \sin\phi + y \cos\phi \end {cases} \qquad\qquad \text {translation:}\; \begin {cases} x \to x - x_0 \\ y \to y - y_0 \end {cases}$$

Eso es,

$$ \frac { \left (\;(x-x_0) \cos\phi + (y-y_0) \sin\phi\ ; \right )^2}{a^2} + \frac { \left (\;-(x-x_0) \sin\phi + (y-y_0) \cos\phi\ ; \right )^2}{b^2} = 1 \tag {$ 2^ \prime $}$$

donde la expansión y la simplificación se deja como un ejercicio para el lector.

Alternativamente, observando que las líneas tienen vectores de dirección unitarios $( \cos\phi , \sin\phi )$ y $(- \sin\phi , \cos\phi )$ nos adaptamos fácilmente $(1)$ para obtener esta forma paramétrica del locus:

$$P \left (\; x_0 + a \cos\theta \cos\phi - b \sin\theta\sin\phi\ ;,\;y_0 + a \cos\theta\sin\phi + b \sin\theta\cos\phi\ ; \right ) \tag {$ 1^ \prime $}$$

Answer 2

WLOG deja que las líneas ortogonales sean las $x$ -eje y $y$ - respectivamente. Que $P=(x,y), A=(0,y+k), B=(x+h,0), AP=a, PB=b$ . Por el teorema de Pitágoras, $$ \begin {align} (y+k)^2+(x+h)^2&=(a+b)^2 \\ (y+ \sqrt {a^2-x^2})^2+(x+ \sqrt {b^2-y^2})^2&=(a+b)^2 \\ y \sqrt {a^2-x^2}+x \sqrt {b^2-y^2}&=ab \\ y^2(a^2-x^2)&=a^2b^2-2abx \sqrt {b^2-y^2}+x^2(b^2-y^2) \\ 2abx \sqrt {b^2-y^2}&=b^2x^2-a^2y^2+a^2b^2 \\ 4a^2b^2x^2(b^2-y^2)&=b^4x^4+a^4y^4+a^4b^4+2(-a^4b^2x^2y^2+a^2b^4x^2-a^4b^2y^2) \\ 2a^2b^2x^2(b^2-y^2)&=b^4x^4+a^4y^4+a^4b^4-2a^4b^2y^2 \\ 2a^2b^2(b^2x^2+a^2y^2-x^2y^2)&=b^4x^4+a^4y^4+a^4b^4 \\ (a^2y^2+b^2x^2-a^2b^2)^2&=0 \\ a^2y^2+b^2x^2&=a^2b^2 \\ \frac {x^2}{a^2}+ \frac {y^2}{b^2}&=1 \end {align}$$ que es una elipse.