¿Son las variedades de dimensión cero de Kodaira precisamente las variedades con gajo canónico de torsión

Question

Dejemos que $B$ una variedad lisa proyectiva conexa sobre $\mathbf C$ .

Supongamos que $K_B$ es de torsión. Entonces, claramente, la dimensión de Kodaira de $B$ es cero.

¿Se cumple lo contrario? Es decir, supongamos que $B$ es de dimensión cero de Kodaira. ¿Se deduce que $K_B$ ¿es la torsión?

Esto es cierto cuando $\dim B\leq 2$ pero no sé si esto es cierto cuando $\dim B>2$ .

Si no es cierto cuando $\dim B>2$ ¿qué propiedades no triviales podemos demostrar $K_B$ para tener si $X$ es de dimensión cero de Kodaira?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que lo que quiere no es cierto ni siquiera en la dimensión 2, a menos que especifique que $B$ es mínimo . De lo contrario, se puede tomar un $K3$ superficie digamos y volar un punto: la superficie resultante ciertamente sigue teniendo $\kappa=0$ pero su haz canónico es $E$ , el divisor excepcional, que no es de torsión.

Así que debemos limitarnos al caso en que $B$ es mínima, es decir, que $K_B$ es nef. Entonces la conjetura de la abundancia (que es un teorema en dimensión $\leq 3$ ) dice que $K_B$ es semimuestra, es decir, algún múltiplo $mK_B$ no tiene base y da un morfismo a una variedad de dimensión $\kappa(B)$ . En este caso eso implica que $mK_B$ se retira de algún haz de líneas en un punto, por lo que es trivial, por lo que $K_B$ es efectivamente la torsión.

Por otro lado, si conociéramos su declaración por todos los mínimos $B$ de dimensión 0 de Kodaira, entonces conoceríamos la conjetura de abundancia en ese caso. Pero eso todavía está muy abierto.

Actualización: Acabo de darme cuenta de que la última frase es completamente falsa. Kawamata demostró la conjetura de la abundancia para las variedades mínimas con $\kappa=0$ ¡en 1985!