¿Por qué querría multiplicar dos polinomios?

Question

Espero que esta no sea una pregunta tan básica que sea completamente expulsada del sitio, pero ¿por qué querría multiplicar dos polinomios juntos?

He hojeado algunos libros de álgebra y he buscado en Google un poco, y siempre que introducen la multiplicación de polinomios se limitan a decir "Supón que tienes dos polinomios que quieres multiplicar", o a veces es tan sencillo como "encuentra el producto". Incluso busqué algunos problemas de ejemplo, con la esperanza de que me permitieran conocer el secreto, pero no lo conseguí.

Entiendo que un polinomio es básicamente un conjunto de números (o, si lo prefieres, un mapeo de un conjunto de números a otro), o, en otra forma de pensarlo, dos polinomios son funciones, y el producto de las dos funciones es una nueva función que te permite aplicar la función una vez, siempre y cuando tuvieras pensado aplicar las funciones originales al número y luego multiplicar el resultado.

La multiplicación elemental puede describirse como "sumar $X$ a sí mismo $Y$ tiempos", donde $Y$ es un buen número entero de veces. Cuando $Y$ no es un número entero, no parece tener tanto sentido.

¿Alguna idea?

Answer 1

Tienes dos preguntas, la explícita sobre por qué querrías multiplicar polinomios, y una implícita en tu párrafo final sobre lo que podría significar la multiplicación por un no-integro o por qué nos importaría multiplicar por un no-integro en primer lugar.

En primer lugar, la última: una vez que se ha multiplicado por números enteros, la multiplicación por fracciones no tarda en aparecer. ¿Qué significa multiplicar por "uno y medio", si multiplicar por 2 significa "sumar a sí mismo", etc.? Pues bien, imagina que tienes una tableta de chocolate, de esas que están formadas por cuadrados más pequeños. Imagina que partes la tableta por la mitad, y luego calculas lo que será el triple de esa mitad; eso será multiplicar por "tres mitades" (también conocido como uno y medio). En realidad se está multiplicando por un número entero, tras modificar convenientemente $X$ .

En general, si necesita multiplicar $X$ por una fracción, $\frac{p}{q}$ imagina que divides $X$ en $q$ partes iguales, y luego multiplicando tal $q$ la parte de $X$ por $p$ en el sentido que tiene arriba. Es lo mismo que "multiplicar por $\frac{p}{q}$ ". Así que multiplicando por una fracción es como "adición abreviada": significa "dividir en $q$ partes iguales, y luego añadir un $q$ la parte repetida $p$ tiempos".

Así que, al menos, multiplicar por fracciones tiene tanto "sentido natural" como multiplicar por enteros.

Entonces, ¿por qué molestarse en utilizar números que no sean fracciones? Bueno, en cierto sentido no es necesario: puedes intentar ceñirte a las fracciones y nada más complicado que eso, y puedes llegar muy lejos. Pero, como descubrieron los griegos hace mucho tiempo, también te encuentras con muros muy grandes muy rápidamente. Por ejemplo, si dibujas un cuadrado que es $1$ pie de largo en cada lado, y tratas de medir la longitud de su diagonal (digamos, con fines de construcción), entonces resulta que la diagonal es no un número que puede expresarse como una fracción; es un número irracional . Así que muy pronto acabas teniendo que considerar números que son no fracciones, y si están por ahí, tarde o temprano vas a tener que multiplicarlas para calcular cosas.

Así que al final hay que encontrar alguna forma de multiplicar también los irracionales, aunque ya no parezcan tener el mismo significado "natural" que tenían cuando empezamos con los enteros. Una solución es que cada irracional puede ser aproximado por una secuencia adecuada de fracciones (piensa en calcular los decimales de uno en uno; cada vez que te detengas, lo que tienes hasta ahora como racional; por ejemplo, $\sqrt{2} = 1.4142\ldots$ y se consigue que $1.4 = \frac{14}{10}$ , $1.41=\frac{141}{100}$ , $1.414=\frac{1414}{1000}$ etc.) Sabemos lo que significa multiplicar $X$ por cada una de esas fracciones de forma sensata, por lo que decimos que multiplicar $X$ por $\sqrt{2}$ es el número que se obtiene al hacer las multiplicaciones sucesivas, al igual que $\sqrt{2}$ es el número que se obtiene al hacer las aproximaciones fraccionarias sucesivas.

Esto ya no tiene sentido como "suma abreviada", pero resulta que es muy, muy necesario y muy, muy útil, para dar sentido a las cosas y poder calcular cosas que necesitamos poder calcular (áreas, productividad, interés, etc).

En cuanto a la multiplicación de polinomios...

Una respuesta: la multiplicación de funciones permite construir funciones más complicadas a partir de otras más sencillas. O mejor dicho, permite expresar funciones más complicadas en términos de otras más simples. Esto es especialmente importante si quieres realizar cálculos complejos, ya que entonces podrás "salirte" de la rutina realizando cálculos mucho más sencillos y multiplicando los resultados, en lugar de hacer la expresión realmente complicada.

Por ejemplo, supongamos que tenemos un único polinomio como $p(x) = x^2-7x+10$ . Si te das cuenta de que $p(x)$ es el resultado de multiplicar el polinomio más simple $x-2$ por el polinomio (también más sencillo) $x-5$ Entonces, cada vez que tenga que evaluar $p(x)$ a un número, digamos $17$ en lugar de tener que cuadrar $17$ y multiplicarlo por $7$ , restar que formar el cuadrado que calculó, y luego añadir $10$ (tres multiplicaciones y dos sumas/restas), se puede tomar en su lugar $17$ , restar $2$ para conseguir $15$ ; luego tomar $17$ , restar $5$ para conseguir $12$ y luego multiplicar $15$ por $12$ (una multiplicación y dos sumas/restas), porque $x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)$ Así que $(17)^2 - 7(17) + 10 = (17-2)(17-5)$ . Mucho más sencillo de hacer.

Otra: suele ser muy difícil encontrar un valor $x$ para el que el resultado de hacer alguna serie compleja de operaciones será una cantidad deseada, $d$ . Por ejemplo, quieres saber cuánto dinero tienes que poner en el banco para que, al cabo de cinco meses y con un tipo de interés determinado, tengas exactamente la cantidad de dinero que necesitas para comprar ese nuevo televisor de pantalla ancha. Esto implica resolver ecuaciones. Muchas ecuaciones naturales pueden escribirse de la forma $p(x)=c$ donde $p(x)$ es una expresión polinómica en la cantidad desconocida $x$ y $c$ es el valor deseado. Resolver este tipo de ecuaciones puede ser difícil en general. Si no se conoce la fórmula cuadrática, entonces hay que calcular los valores de $x$ para el que el polinomio anterior $x^2-7x+10$ es igual a cero puede ser bastante difícil. O piense en algo como $x^4 + x^3 - 120x^2 - 121x = 121$ .

Por otro lado, averiguar cuándo un producto es igual a $0$ es muy fácil, porque la única manera de que un producto sea cero es que uno de los dos factores sea igual a cero. Así que si tomas la ecuación anterior y la escribes como $x^4+x^3-120x^2-121x-121 =0$ entonces se trata de encontrar cuando un determinado polinomio es igual a $0$ . Si puede escribir $q(x)=x^4+x^3-120x^2-121x-121$ como producto , $q(x) = p(x)r(x)$ Entonces tienes eso $q(x)=0$ si y sólo si $p(x)=0$ o $r(x)=0$ . Con un poco de suerte, $p$ y $r$ será más "fácil" que $q$ para que puedas resolverlos. (En el caso anterior, $q(x) = (x^2-121)(x^2+x+1)=(x-11)(x+11)(x^2+x+1)$ , por lo que la única forma de conseguir $q(x)=0$ es si $x=11$ o $x=-11$ ).

De hecho, ésta es una forma de averiguar la fórmula cuadrática (¿te has preguntado alguna vez de dónde viene?). ¿Por qué las soluciones de $ax^2 + bx+c = 0$ dado por $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ? Se puede calcular $a$ y obtener $a(x^2 + Bx + C) = 0$ con $B=\frac{b}{a}$ y $C=\frac{c}{a}$ . Para que esto sea cero, se necesita $x^2+Bx+C=0$ . Ahora, imagina que puedes escribirlo como un producto, $$x^2 + Bx+C = (x-r_1)(x-r_2).$$ ¿Qué es lo que $r_1$ y $r_2$ ser? Si sabes cómo multiplicar polinomios, obtienes que $(x-r_1)(x-r_2)=x^2 - (r_1+r_2)x + r_1r_2$ , por lo que necesita $r_1r_2=C$ y $r_1+r_2 = -B$ . Elevando al cuadrado este último se obtiene $(r_1+r_2)^2 = B^2$ Pero $(r_1+r_2)^2 = r_1^2 +2r_1r_2 + r_2^2$ . Por otro lado, $$(r_1-r_2)^2 = r_1^2 - 2r_1r_2 + r_2^2 = (r_1^2+2r_1r_2+r_2^2) - 4r_1r_2 = B^2 - 4C.$$ Así que $(r_1-r_2)^2 =B^2-4C$ . Tomando las raíces cuadradas, se tiene que $r_1-r_2 = \pm \sqrt{B^2-4C}$ . Y usted ya sabe que $r_1+r_2 = -B$ . Sumándolos se obtiene $$2r_1 = -B\pm\sqrt{B^2-4C}\qquad\text{or}\qquad r_1 = \frac{-B\pm\sqrt{B^2-4C}}{2}$$ y tomando la diferencia entre $r_1+r_2 = -B$ y $r_1-r_2 = \pm\sqrt{B^2-4C}$ se obtiene $$2r_2 = -B\mp\sqrt{B^2-4C}\qquad\text{or}\qquad r_2 = \frac{-B\mp\sqrt{B^2-4C}}{2}.$$ Por lo que se obtiene que $r_1 = \frac{-B+\sqrt{B^2-4C}}{2}$ y $r_2 = \frac{-B-\sqrt{B^2-4C}}{2}$ , y conectando $B=\frac{b}{a}$ y $C=\frac{c}{a}$ da la fórmula cuadrática habitual. ¡No hay manera de encontrarla sin saber multiplicar polinomios!

Cuando llegue a Cálculo ( añadido: Asumo que "llegarás a Cálculo" porque has etiquetado la pregunta como (álgebra-precálculo), así que presumiblemente estás tomando un curso etiquetado como 'pre-cálculo'; pero puede que no sea el caso. Si no vas a "llegar a Cálculo", entonces este párrafo no te dirá nada útil), encontrarás que hay una operación particular (diferenciación, tomar derivadas) que es muy útil y muy importante. Nos indica la rapidez con la que cambia una determinada cantidad, y se puede utilizar para encontrar todo tipo de cosas útiles, como el nivel de producción que maximizará el beneficio en una fábrica, la dosis de medicina y la frecuencia con la que se debe administrar a un paciente en función de la rapidez con la que la metaboliza, y muchas otras aplicaciones. Calcular las derivadas a partir de los primeros principios con una función arbitraria es bastante laborioso, pero al reconfigurar una función como "compuesta" (mediante sumas, productos, cocientes y composiciones) de otras funciones más sencillas, se convierte en un trabajo muy sencillo y fácil.

Pero para poder reconocer que una función es un producto de otras dos funciones, primero hay que saber multiplicar dos funciones entre sí. Los polinomios son un caso.

Otra situación se da cuando los polinomios miden cosas diferentes y su producto tiene algún significado; tal vez un polinomio te da la longitud y el otro la anchura de una determinada figura. Su producto será el área, que puede ser algo que necesites calcular.

Y de forma más general, puedes pensar en los polinomios como "abreviaturas" de operaciones más complicadas que estás haciendo con los números, igual que piensas en la multiplicación como una "suma abreviada". En ese caso, la multiplicación de los dos polinomios representa otra operación complicada que necesitas expresar en términos de las dos más sencillas (suma y multiplicación).

Answer 2

Supongamos que queremos crear códigos de corrección de errores (para hacer cosas como comunicarnos con naves espaciales, fabricar CDs y diseñar sistemas de memoria para ordenadores). La codificación y descodificación de los códigos BCH (así como de muchos otros códigos de corrección de errores) implica la multiplicación de polinomios.

Por supuesto, hoy en día los mejores códigos de corrección de errores son los códigos polares, los códigos turbo o los códigos LPDC, que no se basan en polinomios. Pero durante casi 40 años, muchos sistemas de comunicaciones digitales se basaron en la multiplicación de polinomios.

Answer 3

Aunque algunas de las otras respuestas parecen buenas, hay dos usos particulares relacionados con la multiplicación de polinomios que no vi al hojear.

Uno de ellos está relacionado con las probabilidades. Podemos utilizar un polinomio para representar los posibles resultados de un proceso aleatorio (siempre que haya un número finito), donde hay una variable para cada resultado posible, y el coeficiente de esa variable es la probabilidad de que ocurra. (Por ahora nos limitaremos a los polinomios lineales).

Así, por ejemplo, un lanzamiento de una moneda justa podría representarse como $\frac 12 H + \frac 12 T$ . Una moneda injusta podría ser $\frac 23 H + \frac 13 T$ . Las jugadas de alguien en el juego de piedra-papel-tijera podrían resumirse como $\frac 35 \text{ rock} + \frac 15 \text{ paper} + \frac 15 \text{ scissors}$ . (Al tío le gusta el rock.)

Ahora bien, ¿qué significaría multiplicar dos polinomios de este tipo? Bien, suponiendo que los sucesos aleatorios sean independientes entre sí (es decir, que el resultado de uno no afecte a las probabilidades del otro), el producto de dos de esos polinomios nos indica la probabilidad de varios pares de resultados. Si lanzamos esa moneda desequilibrada, y hacemos que ese tipo lance piedra/papel/tijeras, las posibilidades combinadas son

$$\left(\frac 23 H + \frac 13 T\right) \left(\frac 35 \text{ rock} + \frac 15 \text{ paper} + \frac 15 \text{ scissors}\right) = \frac 25 H \text{ rock} + \frac 15 T \text{ rock} + \frac 2{15} H \text{ paper} + \frac 1{15} T \text{ paper} + \frac 2{15} H \text{ scissors} + \frac 1{15} T \text{ scissors}.$$

Así que podemos leer que, por ejemplo, la probabilidad combinada de obtener una cara en la moneda y que el tipo tire las tijeras es el coeficiente de $H$ tijeras, que es $\frac 2{15}$ .

Así que esa es una forma decente de organizar la información sobre las probabilidades de manera que nos permita combinar múltiples procesos aleatorios independientes. Al elevar un polinomio a la potencia de n en este entorno, obtenemos las probabilidades cuando el proceso se repite $n$ veces, suponiendo de nuevo que el resultado de los ensayos anteriores no afecta al siguiente.

Por ejemplo, lancemos la moneda desequilibrada tres veces seguidas:

$$\left(\frac 23 H + \frac 13 T\right)^3 = \frac 8{27} H^3 + \frac 49 H^2 T + \frac 29 H T^2 + \frac 1{27} T^3$$

Esto nos dice que la probabilidad de que obtengamos dos cabezas y una cola es $\frac 49$ y así sucesivamente. (Si no permitiéramos $H$ y $T$ para conmutar entre sí, obtendríamos la probabilidad de cada secuencia posible).

También cabe destacar que es bastante eficaz utilizar polinomios para llevar la cuenta de las proporciones cuando se forman mezclas de cosas, que luego se mezclan (por ejemplo, en química), utilizando la sustitución de una variable que representa una mezcla por el polinomio que representa su contenido. Sin embargo, la multiplicación no tiene una interpretación inmediata tan útil.

Otra cosa que podemos hacer es utilizar los coeficientes de los polinomios para contar el número de cosas de un tipo determinado. Si tenemos un grupo (finito) de cosas con "tamaños" o "pesos" enteros, y queremos registrar el número de cosas con un peso determinado, podemos utilizar el coeficiente de $x^n$ en un polinomio para registrar el número de objetos con peso $n$ . El producto de dos polinomios de este tipo contará entonces el número de maneras de formar un par de objetos con peso total $n$ para cada $n$ .

Por ejemplo, supongamos que queremos saber el número de formas de poner el cambio para $n$ céntimos en una máquina expendedora utilizando $5$ monedas, para cada posible $n$ . (Y supondremos que las monedas tienen valores $\{1, 5, 10, 25, 100, 200\}$ ). Podemos utilizar el polinomio $c(x) = x^1 + x^5 + x^{10} + x^{25} + x^{100} + x^{200}$ para representar nuestro conjunto de monedas. Las secuencias de $5$ las monedas están representadas por $(c(x))^5$ . Se trata de un polinomio con un número bastante grande de términos (que representa el hecho de que hay muchas maneras de elegir una secuencia de $5$ monedas en orden, específicamente, $6^5 = 7776$ (y más aún el hecho de que hay muchas sumas posibles que podrían tener esas monedas).

Este polinomio es:

$x^5 + 5 x^9 + 10 x^{13} + 5 x^{14} + 10 x^{17} + 20 x^{18} + 5 x^{21} + 30 x^{22} + 10 x^{23} + x^{25} + 20 x^{26} + 30 x^{27} + 5 x^{29} + 5 x^{30} + 30 x^{31} + 10 x^{32} + 20 x^{33} + 10 x^{35} + 20 x^{36} + 30 x^{37} + 20 x^{38} + 10 x^{40} + 25 x^{41} + 60 x^{42} + 10 x^{45} + 60 x^{46} + 30 x^{47} + 21 x^{50} + 60 x^{51} + 10 x^{53} + 30 x^{55} + 20 x^{56} + 30 x^{57} + 20 x^{60} + 30 x^{61} + 30 x^{62} + 15 x^{65} + 60 x^{66} + 30 x^{70} + 30 x^{71} + 30 x^{75} + 10 x^{77} + 10 x^{80} + 20 x^{81} + 10 x^{85} + 20 x^{86} + 20 x^{90} + 10 x^{95} + 5 x^{101} + 5 x^{104} + 5 x^{105} + 20 x^{108} + 5 x^{110} + 30 x^{112} + 20 x^{113} + 20 x^{116} + 60 x^{117} + 5 x^{120} + 60 x^{121} + 30 x^{122} + 21 x^{125} + 60 x^{126} + 20 x^{128} + 30 x^{130} + 20 x^{131} + 60 x^{132} + 20 x^{135} + 60 x^{136} + 60 x^{137} + 25 x^{140} + 120 x^{141} + 60 x^{145} + 60 x^{146} + 60 x^{150} + 30 x^{152} + 20 x^{155} + 60 x^{156} + 30 x^{160} + 60 x^{161} + 60 x^{165} + 30 x^{170} + 20 x^{176} + 20 x^{180} + 20 x^{185} + 5 x^{200} + 10 x^{203} + 5 x^{204} + 30 x^{207} + 20 x^{208} + 30 x^{211} + 60 x^{212} + 20 x^{213} + 10 x^{215} + 80 x^{216} + 60 x^{217} + 35 x^{220} + 90 x^{221} + 30 x^{222} + 50 x^{225} + 60 x^{226} + 30 x^{227} + 20 x^{228} + 40 x^{230} + 80 x^{231} + 60 x^{232} + 50 x^{235} + 120 x^{236} + 60 x^{237} + 85 x^{240} + 120 x^{241} + 90 x^{245} + 60 x^{246} + 60 x^{250} + 30 x^{251} + 30 x^{252} + 50 x^{255} + 60 x^{256} + 60 x^{260} + 60 x^{261} + 60 x^{265} + 30 x^{270} + 10 x^{275} + 20 x^{276} + 20 x^{280} + 20 x^{285} + 5 x^{300} + 10 x^{302} + 20 x^{303} + 20 x^{306} + 60 x^{307} + 10 x^{310} + 80 x^{311} + 60 x^{312} + 40 x^{315} + 120 x^{316} + 70 x^{320} + 60 x^{321} + 60 x^{325} + 20 x^{326} + 60 x^{327} + 40 x^{330} + 120 x^{331} + 80 x^{335} + 120 x^{336} + 120 x^{340} + 60 x^{345} + 10 x^{350} + 60 x^{351} + 60 x^{355} + 60 x^{360} + 20 x^{375} + 5 x^{401} + 30 x^{402} + 10 x^{403} + 5 x^{405} + 60 x^{406} + 30 x^{407} + 35 x^{410} + 90 x^{411} + 30 x^{412} + 70 x^{415} + 60 x^{416} + 60 x^{420} + 30 x^{421} + 35 x^{425} + 60 x^{426} + 30 x^{427} + 70 x^{430} + 60 x^{431} + 90 x^{435} + 60 x^{436} + 60 x^{440} + 30 x^{445} + 30 x^{450} + 30 x^{451} + 30 x^{455} + 30 x^{460} + 10 x^{475} + x^{500} + 20 x^{501} + 30 x^{502} + 20 x^505 + 60 x^{506} + 50 x^{510} + 60 x^{511} + 60 x^{515} + 30 x^{520} + 20 x^{525} + 60 x^{526} + 60 x^{530} + 60 x^{535} + 30 x^{550} + 5 x^{600} + 30 x^{601} + 10 x^{602} + 30 x^{605} + 20 x^{606} + 40 x^{610} + 20 x^{611} + 20 x^{615} + 10 x^{620} + 30 x^{625} + 20 x^{626} + 20 x^{630} + 20 x^{635} + 10 x^{650} + 10 x^{700} + 20 x^{701} + 20 x^{705} + 20 x^{710} + 20 x^{725} + 10 x^{800} + 5 x^{801} + 5 x^{805} + 5 x^{810} + 5 x^{825} + 5 x^{900} + x^{1000}$

Acabo de usar mi ordenador para calcularlo.

Esto nos dice, por ejemplo, que hay $120$ distintas formas de poner monedas en una máquina expendedora para hacer $\$ 1.41 $, since the coefficient of $ x^{141} $ is $ 120 $. There is of course, only one way to make change for $ 10 $ dollars (which is to put in all $ 2 $ dollar coins), so the coefficient of $ x^{1000} $ is $ 1 $. Note also that if we were to evaluate this polynomial at $ x = 1 $, we would get the total number of possible sequences, which is $ 7776 $. It's also maybe interesting to see which terms are missing from this polynomial (have a coefficient of $ 0 $), telling us that there's no way to make change for that amount using $ Monedas de 5 dólares.

De hecho, ambos enfoques se generalizan a las series de potencias (que son como los polinomios, pero que tienen infinitas secuencias de términos), y la eficacia del enfoque se hace realmente más evidente en ese entorno más general. Esta técnica se denomina serie generadora (o el nombre algo desafortunado, pero quizá más común, de "funciones generadoras").

De todos modos, creo que esto da una idea de la variedad de cosas que se pueden hacer con los polinomios. (Dejaré ese juego de palabras ahí para los geómetras algebraicos. ;)

Answer 4

En realidad se trata de varias preguntas. En orden creciente de profundidad:

1. ¿Por qué multiplicar polinomios? Porque son funciones, y la multiplicación es una operación natural o deseable en las funciones.

2. ¿Por qué multiplicar funciones? Porque los valores de las funciones son números enteros, o racionales, o reales, u objetos de otro tipo más complicado que pueden multiplicarse (como matrices o rotaciones). Si la multiplicación es natural para estos números u objetos de tipo numérico, también lo es para las funciones cuyos valores son tales objetos.

3. ¿Por qué multiplicar números enteros, racionales, reales, etc.? Aquí es donde la explicación se hace difícil. La operación natural es no sino la operación más estructurada de la "multiplicación tensorial" que conserva la información sobre los factores que se multiplican. Se puede representar un Área como un producto de tipo Longitud x Longitud que recuerda su bidimensionalidad, en lugar de un valor numérico unidimensional de ese producto que ha olvidado sus orígenes. Del mismo modo, para la multiplicación de enteros es más directo multiplicar 5 y 6 dibujando 5x6 como una matriz bidimensional rectangular de puntos en lugar de la "evaluación numérica" de esa matriz como una cadena unidimensional de 30 puntos. Esto último es menos natural, ya que requiere un método para enumerar los puntos de la cuadrícula y no hay un orden preferente para contarlos. Esto también se refleja en la capacidad de multiplicar naturalmente 5 artilugios por 6 artilugios, sin que exista un orden determinado de los artilugios o de los artilugios.

Los polinomios, especialmente los polinomios en varias variables ( $x +3x^2y + 2 z^{10} x$ y demás), tienen más estructura interna que los números y, por tanto, pueden reflejar -de hecho, pueden definirse y derivarse- la estructura tensorial de la multiplicación. Así que no es que los polinomios existan y nosotros puede es que la multiplicación de números (o de conjuntos finitos) implica naturalmente algo más que información numérica y los polinomios son una mejora de los números que encarnan más directamente esa información para que la multiplicación puede realizarse de forma que se conserve más la estructura interna.

Una pista de esto es que los enteros en base 10 son valores de polinomios en $x = 10$ (y esos polinomios pueden considerarse como una "liberación" o "mejora" de los números). A veces se puede ver que la multiplicación de los números enteros reproduce los patrones de los coeficientes cuando se multiplican los polinomios para general $x$ por ejemplo, comparar las potencias de $102$ y $x^2 + 0x + 2$ . Más adelante hay cosas como las funciones generadoras y las convoluciones que explotan directamente los polinomios como portadores de información que se enriquece en comparación con el uso de números solamente.

(Esto es una glosa de algunas cuestiones técnicas sobre la conmutatividad. Además, las áreas deberían ser sumas de productos LxL, y habría que explicar el papel de las sumas además de los productos. Pero estos son detalles que no afectan al punto principal).

En las aplicaciones, la multiplicación representa la interacción o correlación entre diferentes efectos. Las situaciones en las que hay varios procesos independientes aislados entre sí y que contribuyen a algún resultado conducen a sumas de funciones de las diferentes variables, como $f(x) + g(y) + h(z)$ los términos de la suma que representan los efectos por separado. Las situaciones en las que diferentes partes del mecanismo pueden interactuar entre sí para producir el resultado, o en las que existe una correlación entre diferentes efectos (por ejemplo, uno intensifica o suprime el otro), casi siempre implican una multiplicación cuando se expresan matemáticamente. Por ejemplo, si se cuenta el número de apretones de manos en un grupo de $n$ personas la respuesta será de orden $n^2$ y si se cuenta el número de posibles interacciones de 3 personas en este grupo será del orden de $n^3$ . Las no linealidades reflejan la capacidad de organizar a las personas en pares, triples, etc., y esto refleja de nuevo el hecho de que la multiplicación natural de dos conjuntos finitos $A$ y $B$ es el conjunto de pares ordenados $(a,b)$ de elementos, uno de cada conjunto, y lo mismo para los triples y números superiores de conjuntos.

Un término un tanto de moda para las ideas relacionadas es (de- o re-) categorización .

Answer 5

Al resolver problemas del mundo real con álgebra simple, no es raro que haya polinomios repartidos por la ecuación. Dado que 1/(3x+4)=2x-1, que no es una ecuación extraordinariamente compleja, lo primero que querrás hacer es multiplicar ambos lados por 3x+4, lo que significa que tendrás que ser capaz de manejar (2x-1)*(3x+4).