El grado del fibrado tangente de una superficie de Riemann

Question

Un conocido resultado indica que el grado de la tangente bundle $TX$ de una Superficie de Riemann $X$ de género $g$ es exactamente $2-2g$.

En mi mente el género es intuitivamente el número de "tiradores" de la superficie, y precisamente es la dimensión de la $\mathbb{C}$-espacio vectorial $\Omega_1(X)$ de holomorphic 1-formas en $X$. El google me di cuenta de que el número de $2-2g$ es la característica de Euler de la superficie.

Pregunta 1 (Responder en los comentarios) he comprobado la relación de algunos pequeños-género de las superficies mediante la búsqueda de una explícita de la triangulación, pero ¿cómo puedo demostrarlo?

A continuación, se presenta la definición de grado de una línea bundle $L$$X$. Puedo ver en dos diferentes, pero equivalentes, formas. Por un lado es que el grado del divisor asociado en $X$ como en Hartshorne, por otro lado es la "ponderado" la suma de los ceros de una sección general, como en la página 16 de los apuntes de clase. Es claro por qué las dos definiciones son las mismas y son independientes de la elección de la sección general.

La única manera que veo para calcular el grado de una línea de paquete es encontrar un "inteligente" de la sección, pero no pude encontrar uno en este caso de la tangente paquete.

Pregunta 2: Hay otras maneras efectivas para calcular? De lo contrario, lo que podría ser una buena opción para una sección?

Traté de mantener la cuestión más general posible porque estoy más interesado en la clarificación de las nociones involucradas que en un corto de prueba de la afirmación del título. También consejos o sugerencias son más que bienvenidos!

Gracias por su tiempo!

Answer 1

En primer lugar vamos a deshacerse de los no-compacto de las superficies de Riemann: cada holomorphic vector paquete de cualquier rango en una superficie es holomorphically trivial y esto sella el destino de su tangente del paquete: es trivial.

A partir de ahora, podemos suponer que la superficie de Riemann $X$ es compacto.
Aquí hay tres maneras de utilidad para calcular su género $g$ (que es equivalente a calcular el grado de su tangente paquete debido a la fórmula de $deg (T_X)=2-2g$ mencionado) :

I) Si la superficie de Riemann $X\subset \mathbb P^2( \mathbb C)$ es el liso cero locus de un polinomio homogéneo $f(x_0,x_1,x_2)\in \mathbb C[x_0,x_1,x_2]$ grado $d$ cuyas derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0,x_1,x_2)$ no desaparecen simultáneamente en $X$, entonces el género $g$ $X$ es $$ g= \frac{(d-1)(d-2)}{2} $$

II) Suponga que la superficie de Riemann $X\subset \mathbb P^3( \mathbb C)$ es la intersección de dos superficies dada por los polinomios homogéneos$f(x_0,x_1,x_2,x_3)$ $g(x_0,x_1,x_2,x_3)$ de grados $d,e$ cuyos gradientes son linealmente independientes, a lo largo de $X$. A continuación, $X$ tiene género $$g=1+ \frac{de(d+e-4)}{2} $$

III) Si $\phi:X\to Y$ es un ramificado, cubriendo de grado $d$ entre los dos compacto de las superficies de Riemann, con $r$ puntos de ramificación (contados con multiplicidades), entonces sus géneros están relacionados por la de Riemann-Hurwitz fórmula : $$g(X)= 1+ \frac{r}{2} +d\cdot(g(Y)+1) $$

Bibliografía
El sorprendente resultado de que en un no-compacto de superficie de Riemann cada holomorphic vector paquete de cualquier rango es holomorphically trivial se demostró, con todos los requisitos necesarios, en la referencia fundamental O. Forster, Conferencias sobre las Superficies de Riemann , el Teorema de 30.3.
(Tenga en cuenta que si se reemplaza "holomorphic" por "algebraica" el resultado es completamente falso: ya no trivial algebraica de la línea de paquetes son abundantes en no-no-racional de las curvas algebraicas)
La de Riemann-Hurwitz fórmula se demostró en la página 140 del mismo libro.

Para los cálculos de las acciones del grupo en una de las Superficies de Riemann y el asociado se ramifica a cubrir, en relación a la de Riemann-Hurwitz, recomiendo R. Miranda, Curvas Algebraicas y las Superficies de Riemann , Ch.III, §3 .

Edit: Un ejemplo
Como una ilustración de II), tomar la quadrics $x_0x_2-x_1^2=0$$x_0x_1+x_1x_2-x_3^2=0$$\mathbb P^3(\mathbb C)$ . Su intersección en $\mathbb P^3(\mathbb C)$ es una curva suave de género $1$ y en el último capítulo de Harris de la Geometría Algebraica te mostraré que es isomorfo a la curva de $y^2z-x^3-xz^2=0$$\mathbb P^2(\mathbb C)$, que de hecho tiene género $1$ I).