Sistema de numeración con$e^x = 0$ para algunos$x$

Question

Es bien sabido que $e^x \ne 0$ todos los $x \in \mathbb{R}$$x \in \mathbb{C}$. La lectura de este artículo que he encontrado que esto es cierto también de los cuaterniones $\mathbb{H}$.

Mi pregunta es si hay un número finito de dimensiones de la extensión de los números reales (octonions, sedonions, o más en general, cualquier sistema de número que sea) para que $e^x = 0$ algunos $x$, $\log 0$ está definido y tiene un valor finito.

Para los efectos de esta pregunta, ninguno de los habituales de las propiedades de la aritmética o de la función exponencial, se supone que es verdad, aunque supongo que esto puede hacer que mi pregunta algo sin sentido.

Answer 1

Si desea que la propiedades$$e^{x+y}=e^xe^y\quad\hbox{for all $ x, y$}$ $ y$$e^0=1$ $ permanecer cierto, entonces tenemos$$e^xe^{-x}=1\quad\hbox{for all $ x$}$ $ y así$e^x$ nunca puede ser cero.

Answer 2

Agregando a lo que dijo David, incluso si usted renuncia por parte homomorfismo de la, la definición serie exponencial (que sostiene en cualquier álgebra de Banach, que incluye los sistemas de numeración) hace de manera que$e^X e^{-X}=1$, por lo que$e^X$ no se puede$0$.