Encuentra una suma de valores apropiados de$\cos$ y$\sin$ para determinar el valor de una serie

Question

La tarea es encontrar a una suma de varios valores de $\cos$ $\sin$ para determinar el valor de $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{(2n+2)!}$$

Ya que yo no tenía idea de cómo acercarse a este consulté a Wolfram|Alpha, que regresó este resultado:

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{(2n+2)!} = \frac{\sin(1)}{2} + \cos(1) - \cos(0)$$

Así que escribió las sumas parciales de la serie y $\sin(1)$$\cos(1)$:

$$ \qquad\qquad\quad\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{(2n+2)!} = \quad - \frac{1}{4!} + \frac{2}{6!} - \frac{3}{8!} \cdots $$

$$ \;\;\sin(1) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1^{2n+1}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} - \frac{1}{7!} \cdots $$

$$ \cos(1) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1^{2n}}{(2n \qquad)!} = 1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{6!} \cdots $$

Mirando los números, puedo ver que Wolfram|Alpha resultado es correcto: $\frac{1}{2}1 - \frac{1}{2!} = 0$$\frac{1}{2}\frac{-1}{3!} + \frac{1}{4!} = \frac{1}{4!}$, por lo que el $\cos(1)$de la serie se desplaza por $1$ ya que no hay $1$ al comienzo de la serie, por lo que debe ser restado de $\cos(1)$: $-cos(0)=-1$. Pero, ¿cómo puedo llegar hasta aquí sin Wolfram|Alpha?

Answer 1

Por supuesto que sabes la serie de$\cos(1)$ y$\sin(1)$, por lo que desea expresar esta utilizando esos.
Prefiero comenzar la suma en$n=0$: puesto que el$n=0$ término es$0$, esto es inofensivo. Tenga en cuenta que $\frac{n}{(2n+2)!} = \frac{n}{(2n+1)!(2n+2)}$. Ahora $\frac{n}{2n+2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2n+2}$. Así$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{n}{(2n+2)!} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{(2n+1)!} - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{(2n+2)!}$ $ Ahora observamos que$ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{(2n+1)!} = \sin(1)$ y$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{(2n+2)!} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} - \ldots = 1 - \cos(1)$ $

Answer 2

Ni idea de cómo Wolfram lo hace. Pero supongo que usted acaba de empezar con la alimentación de la serie y jugar. \begin{equation} X=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{n}{(2n+2)!}=-\frac{1}{4!}+\frac{2}{6!}-\frac{3}{8!}+\dots \end{equation} El molesto es la parte de los numeradores. Trate de doblar de manera que los numeradores "mantener" con los denominadores. \begin{equation} 2X=-\frac{2}{4!}+\frac{4}{6!}-\frac{6}{8!}+\dots \end{equation} Ahora los numeradores son sistemáticamente fuera de los denominadores 2. \begin{equation*} 2X=(-\frac{4}{4!}+\frac{6}{6!}-\frac{8}{8!}+\dots)+2(\frac{1}{4!}+\frac{1}{6!}-\frac{1}{8!}+\dots) \end{ecuación*} La segunda parte es bastante $\cos(1)$. Y los numeradores de curso cancelar en la primera parte. \begin{equation} 2X=(-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}+\dots)+2(\cos(1)-1/2) \end{equation} Ahora, la primera parte es bastante $\sin(1)$. \begin{equation} 2X=(\sin(1)-1)+2\cos(1)-1 \end{equation} \begin{equation} X=\frac{\sin(1)}{2}+\cos(1)-1 \end{equation}

Espero que no parecía demasiado al azar. Mi enfoque es tratar de construir la serie deseada de que conozco el uso de diversas manipulaciones como el cálculo, la combinación y la reorganización.

Answer 3

deje$m=n+1$, por lo que su serie reduce a$$\sum_{m=2}^\infty(-1)^{m-1}\frac{m-1}{(2m)!}=-\sum_{m=2}^\infty(-1)^{m}\frac{m}{(2m)!}+\sum_{m=2}^\infty(-1)^{m} \frac{1}{(2m)!}$ $$$=-\sum_{m=2}^\infty(-1)^{m}\frac{1}{2(2m-1)!}+\sum_{m=0}^\infty(-1)^{m} \frac{1}{(2m)!}-1+\frac{1}{2!}$ $

Tenga en cuenta que$\frac{m}{(2m)!}=\frac{m}{(2m)(2m-1)!}=\frac{1}{(2)(2m-1)!}$, y también evaluamos la segunda serie en$m=0$ y$m=1$

Sustitución$m$ en$k+1$ en la primera serie y simplificando, obtenemos,$$\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k}\frac{1}{2(2k+1)!}+\sum_{m=0}^\infty(-1)^{m} \frac{1}{(2m)!}-1+\frac{1}{2!}$ $$$\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k}\frac{1}{2(2k+1)!}-\frac{1}{2!}+\sum_{m=0}^\infty(-1)^{m} \frac{1}{(2m)!}-1+\frac{1}{2!}$ $$$\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k}\frac{1}{2(2k+1)!}+\sum_{m=0}^\infty(-1)^{m} \frac{1}{(2m)!}-1$ $$$=\frac{\sin (1)}{2}+\cos(1)-\cos(0)$ $

Answer 4

Comenzar con la serie de Maclaurin conocida

ps

y

ps

La serie dada tiene factoriales de los números pares en el denominador, por lo que comenzó desplazando índices para hacerlos$$\cos x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ para igualar la serie de cosenos. Después de eso era sobre todo una cuestión de seguir mi nariz: en cada paso de cálculo a continuación realmente sólo hay una cosa que se sugiere fuertemente.

$$ \begin{align*} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{(2n+2)!}&=\sum_{n=2}^\infty(-1)^{n-1}\frac{n-1}{(2n)!}\\ &=\sum_{n=2}^\infty(-1)^{n-1}\frac{n}{(2n)!}-\sum_{n=2}^\infty(-1)^{n-1}\frac1{(2n)!}\\ &=\sum_{n=2}^\infty(-1)^{n-1}\frac{n}{2n(2n-1)!}+\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}\\ &=\frac12\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}-1+\frac12\\ &=\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}+\cos 1-\frac12\\ &=\frac12\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}-1\right)+\cos 1-\frac12\\ &=\frac12\sin 1 + \cos 1 - 1\\ &=\frac12\sin 1+\cos 1-\cos 0 \end {Align *} $$