Geodésica de una superficie en $\mathbb{R}^3$

Question

No estoy familiarizado con la geodésica. ¿Cómo puedo demostrar que una curva $c$ dado por $c(t)=(t,f(t)\cos{\alpha},f(t)\sin{\alpha})$ para $\alpha$ constante es una geodésica en $M$ donde $M=\left\{(x,y,z) \in \Bbb{R}^3 \mid f(x)=y^2+z^2\right\}$ ?

Answer 1

Una definición de geodésica es que es una curva cuya curvatura geodésica es cero. Entonces, calcula la curvatura geodésica y demuestra que es cero. Casi cualquier referencia de geometría diferencial decente te dirá cómo calcular la curvatura geodésica; aquí hay una: MathWorld .

Alternativamente (y de forma equivalente, utilizando una definición diferente de geodésica), demuestre que la normal principal de la curva coincide con la normal de la superficie en cada punto.

Por supuesto, se trata de técnicas de fuerza bruta tontas. Un enfoque mucho más inteligente es darse cuenta de que tu superficie es una superficie de revolución y tu curva es un meridiano, y utilizar las ideas dadas en los dos comentarios. Los enfoques tontos son valiosos sólo porque siempre funcionarán, y porque no requieren ninguna idea inteligente.