¿Puede ser racional un número irracional elevado a una potencia irracional?

Question

¿Puede un número irracional elevado a una potencia irracional ser racional?

Si puede ser racional, ¿cómo se puede demostrar?

Answer 1

Aquí hay un ejemplo clásico. Considere $A=\sqrt{2}^\sqrt{2}$ . Entonces $A$ es racional o irracional. Si es irracional, entonces tenemos $A^\sqrt{2}=\sqrt{2}^2=2$ .

Answer 2

Sí, puede, $$ e^{\log 2} = 2 $$

Resumen de las ediciones : Si $\alpha$ y $\beta$ son algebraico e irracional, entonces $\alpha^\beta$ no sólo es irracional sino trascendental.

Mirando tu otra pregunta, parece que vale la pena discutir lo que ocurre con las raíces cuadradas, las raíces cúbicas, los números algebraicos en general. Recomiendo encarecidamente Números Irracionales de Ivan Niven, NIVEN .

Por lo tanto, la pregunta más precisa es sobre números como $$ {\sqrt 2}^{\sqrt 2}.$$ Durante mucho tiempo no se conoció la naturaleza de dicho número. Además, cabe señalar que tales expresiones tienen infinitos valores, dados por todos los valores posibles de la expresión $$ \alpha^\beta = \exp \, ( \beta \log \alpha ) $$ en $\mathbb C.$ La cuestión es que cualquier valor específico de $\log \alpha$ puede ser alterado por $2 \pi i,$ alterando así $\beta \log \alpha$ por $2 \beta \pi i,$ finalmente alterar la interpretación elegida de $\alpha^\beta.$ Por supuesto, si $\alpha$ es real y positivo, se utiliza la rama principal del logaritmo, donde $\log \alpha$ también es real, por lo que sólo el significado de $\alpha^\beta$ se pretende.

Finalmente, llegamos al teorema de Gelfond-Schneider, de la página 134 de Niven: Si $\alpha$ y $\beta$ son números algebraicos con $\alpha \neq 0, \; \alpha \neq 1$ y $\beta$ no es un número racional real, entonces cualquier valor de $\alpha^\beta$ es trascendental.

En particular, cualquier valor de $$ {\sqrt 2}^{\sqrt 2}$$ es trascendental, incluyendo el "principal" y el valor real positivo que una calculadora le dará para $\alpha^\beta$ cuando ambos $\alpha, \; \beta$ son números reales positivos, definidos como siempre por $ e^{\beta \log \alpha}$ .

Hay un detalle aquí que no se ve a menudo. Un logaritmo de $-1$ es $i \pi,$ esta es la famosa fórmula de Euler $$ e^{i \pi} + 1 = 0.$$ Y $\alpha = -1$ es permitido en Gelfond-Schneider. Supongamos que tenemos un real positivo, y algebraico pero irracional $x,$ para que podamos tomar $\beta = x.$ Entonces G-S dice que $$ \alpha^\beta = (-1)^x = \exp \,(x \log (-1)) = \exp (i \pi x) = e^{i \pi x} = \cos \pi x + i \sin \pi x $$ es trascendental. ¿Quién lo sabía?

Answer 3

Si $r$ es cualquier racional positivo que no sea $1$ , entonces para todos los reales positivos, excepto los contables $x$ ambos $x$ y $y = \log_x r = \ln(r)/\ln(x)$ son irracionales (de hecho trascendentales), y $x^y = r$ .

Answer 4

Por ejemplo: $$\sqrt{2}^{2\log_2 3} = 3$$

Answer 5

Permítanme ampliar la respuesta de orangeskid, tanto porque creo que nos enseña algo útil, como porque podría ser la prueba elemental más fácil para esta pregunta.

La prueba de que $ \sqrt{2} $ es irracional es bien conocido, así que no lo repetiré aquí.

Pero hay una prueba igual de sencilla que muestra que $ \log 3 / \log 2 $ es irracional. Supongamos por el contrario que $ \log 3 / \log 2 = p / q $ donde p y q son números enteros. Como $ 0 < \log 3 / \log 2 $ podemos elegir $ p $ y $ q $ ambos como enteros positivos. La igualdad se reordena entonces a $ 3^q = 2^p $ . Pero aquí, el lado izquierdo es impar y el derecho es par, por lo que obtenemos una contradicción.

Esto da una respuesta positiva a la pregunta original: $$ \big(\sqrt{2}\big)^{2 \log 3 / \log 2} = 3 $$

Gracias a Rand al'Thor, que mencionó este problema en el chat de SE y que inspiró esta respuesta .