Resolución de la ecuación de los números complejos $z^3 = \overline{z} $

Question

Tenemos la siguiente ecuación:

$$z^3 = \overline{z} $$

He establecido que z sea $z = a + ib$ y como sé que $ \overline{z} = a - ib$ . Intentaba resolverlo abriendo el lado izquierdo de la ecuación.

$$ z^3 = (a+ib)^3 \Rightarrow $$ $$ [a^2+b^2+i(ab + ba)](a+ib) \Rightarrow $$ $$ a^3 - b^2a - 2b^2a + i (2a^2b + b^2a - b^3) $$

pero hasta aquí llegué y no estoy seguro de cómo continuar y si mi solución hasta ahora es incluso la forma correcta de resolverlo.

Answer 1

En forma polar, en el lado del módulo, $$r^3=r,$$ por lo que $r=0\lor r=1$ .

En el lado de los argumentos,

$$3\theta=-\theta+2k\pi,$$ por lo que $\theta=k\pi/2$ .

Las soluciones son $$0,1,i,-1,-i.$$

Answer 2

Una de las soluciones es obviamente $z=0$ . Para otras soluciones la forma más sencilla es escribir $z=re^{ia}$ entonces $$ z^3=\bar z\implies |z^3|=|\bar z|=|z|\implies |z|^2=1\implies r=1 $$ ahora calculamos $a$ observando que $$ z^4=z\bar z=1 $$ por lo que sólo hay que encontrar todos los $4$ -Raíces de la unidad para terminar...

Answer 3

Igualar las partes reales e imaginarias, $$a^3-3ab^2=a\iff a(a^2-3b^2-1)=0$$

y $$3a^2b-b^3=-b\iff b(3a^2-b^2+1)=0$$

O bien $a=0\ \ \ \ (1)$ o $a^2-3b^2-1=0\ \ \ \ (2)$

y $b=0\ \ \ \ (3)$ o $3a^2-b^2+1=0\ \ \ \ (4)$

Prueba con

$(1),(3);$

$(1),(4);$

$(2),(3);$

$(2),(4)$

Answer 4

Una pista:

Multiplicando ambos lados por $z$ que tienes: $$ z^4=|z|^2 $$ Ahora utilice la forma polar $z=|z|e^{i\theta}$ .

Answer 5

Hasta ahora, muy bien.

Ahora: quieres $z^3=\overline z$ Por lo tanto $\color{blue}{(a^33b^2a)}+i\color{green}{(2a^2b+b^2ab^3)} =\color{blue}{a}-i\color{green}{b}$ .

Eso te da dos ecuaciones con dos incógnitas. Resuélvelas