Es la concatenación de cadenas de dígitos-transitiva?

Question

Dadas dos dígitos-cadenas de $A$$B$, vamos a $AB$ ser su concatenación. Así, por ejemplo, si $A = ``102"$ y $B = ``101"$, $AB = ``102101"$.

Se dice entonces $AB \geq BA$ desde $102101 \geq 101102$.

Ahora dado cifras cadenas $A$, $B$, y $C$, es cierto que $$AB \geq BA \land BC \geq CB \Rightarrow AC \geq CA$$ ?

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Contexto: Esta página da 5 "simple" ejercicios de programación. Uno de ellos es

Dada una lista de los números enteros negativos, los dispone de tal que forma que el mayor número posible. Por ejemplo, dada [50, 2, 1, 9], el mayor número formado es 95021.

Mi solución (y su solución) fue el fin de las cadenas mediante la comparación anterior. Esto parece que funciona, pero me gustaría probarlo. Yo era capaz de acercarse a una prueba, pero se basa en la comparación anterior, siendo un total de preorder.

He tratado de demostrar el por encima de la transitividad de la relación de diversas maneras, pero han fracasado. Una simulación por ordenador de una de las primeras 100.000 números parece implicar que es cierto, sin embargo.

Answer 1

Vamos a denotar la longitud (número de dígitos) en$A$ en$LA$ (y así sucesivamente).

La primera desigualdad que tiene es:

$A\times 10^{LB} +B \geq B\times 10^{LA} +A$

que puede ser reformulado como

$A\times(10^{LB}-1) \geq B\times(10^{LA}-1)$

o como

$A \geq B\times\frac{10^{LA}-1}{10^{LB}-1}$

Del mismo modo, la segunda desigualdad puede ser reformulada como

$B \geq C\times\frac{10^{LB}-1}{10^{LC}-1}$

y el que usted quiere demostrar que es

$A \geq C\times\frac{10^{LA}-1}{10^{LC}-1}$,

que ahora se sigue directamente de los supuestos:

$A \geq B\times\frac{10^{LA}-1}{10^{LB}-1} \geq C\times\frac{10^{LB}-1}{10^{LC}-1}\times\frac{10^{LA}-1}{10^{LB}-1}=C\times\frac{10^{LA}-1}{10^{LC}-1}$.

(I asume implícitamente que ninguna de estas cadenas es de longitud cero)