¿Por qué / cuándo estas soluciones extrañas aparecen mientras resolver una ecuación cuadrática?

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación cuadrática ecuación$x^2 + x + 1 = 0$. $x^2 = -1 - x $ $\iff x = -\frac{1}{x} - 1$, asumiendo $x\neq 0$.

Sustituyendo esto en la ecuación original da$x^2 + (-\frac{1}{x} -1) + 1 = 0$

$x=1$ Es una solución a esta segunda ecuación, pero no es una solución a la primera. ¿Cómo surgió esta solución adicional? ¿Qué paso no era reversible y por qué no fue?

Answer 1

El origen de esta extraña solución es la misma que la de los que se han encontrado durante la realización de la plaza: confundir $ P \implies Q $ a la media de la converse $ Q \implies P $ donde$P$$ x^2 + x + 1 = 0 $$Q$$ x^2 + (-\frac{1}{x} - 1) + 1 = 0 $.

Trate de ir hacia atrás de $Q$ $P$usted mismo: usted no puede, al menos no sin la proposición de $R$ $ x = -\frac{1}{x} - 1 $ (que es justamente derivable de $P$, pero no de $Q$).

Un más riguroso camino a seguir acerca de la solución para $x$ sería asumir $ P \iff Q \ \& \ R $. Así que ahora usted no tiene que ir de nuevo a $P$ para comprobar si la solución es extraña, pero tiene la restricción adicional de $R$ que tienes que mantener en mente.

Desde $R$ elimina $ x = 0 $, y que no hay otras soluciones para $Q$; se ve obligado a concluir que $P$ no tiene ningún tipo de soluciones, y de hecho su ecuación cuadrática no tiene soluciones en $\mathbb{R}$ (las dos raíces son complejas: $-\sqrt[3]{-1} = -i^{\frac{2}{3}} $$ (-1)^\left(2/3\right) = i^{\frac{4}{3}}$).

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Eso significaría $x = undef$ (o más bien $\not\exists x \in \mathbb{R}$), no estoy seguro de qué es lo que los matemáticos sentido o validez de $(x−1)(x^2+x+1)=0(x−1)$ sería otro que acaba de decir $undef = undef$. (Podría alguien formalizar lo que está pasando aquí?)

Además, si estamos tratando de ir hacia atrás de $x^2 + \frac{1}{x} = 0$ (el que tiene la solución 1), podemos multiplicar ambos lados por la identidad de $\frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2}{(x^3 - y^3)}$ es igual a $1$; pero debemos asegurarnos de que el denominador estamos dividiendo por no es 0 (como si rompemos las reglas, es expulsado de la agradable mundo de nuestra teoría de los números), que en el caso de $x = 1$ es de hecho eso exactamente.

Answer 2

Tienes$x=-x^2-1$ y$x=-\frac1x-1$,

Deje$A=x$,$B=-x^2-1$ y$C=-\frac1x-1$. Se comienza con$A=B$ y$A=C$. Se concluye que$B=C$. El problema va en retroceso desde$B=C$ a$A=B$ y$A=C$.