Evaluar

Question

Evaluar: $$\int{\frac{x^{5}-x}{x^{8}+1}\:dx}$ $

Soy incapaz de ver un digno punto de partida para esta integral, no hay radicales para que sustitución trigonométrica no es provechoso; no hay ninguna buena fracción parcial descomposición para simplificar el integrando, integración por las piezas no ayuda a simplificar mucho y no puedo ver cualquier factorización o sustitución útil utilizar.

¿Puede alguien ayudar a arrojar algo de luz sobre esta integral?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Estas integrales se envuelven a menudo bien por sustitución de la forma: %#% $ de #% donde $$u=x^a\pm\frac{1}{x^a}$ se elige apropiadamente. Un poco de jugar lleva a lo siguiente: %#% $ #% ahora le $a$ $ %#% de #% $ por lo tanto los $$\int\frac{x^{5}-x}{x^{8}+1}dx=\int\frac{x^{3}\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)dx}{x^{4}\left(x^{4}+\frac{1}{x^{4}}\right)}=\int\frac{\left(x^{2}-\frac{1}{x^{2}}\right)dx}{x\left[\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}-2\right]}$de % $ $$u=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ $

Answer 2

Puedes probar utilizando factorización $x^8+1=(x^4-\sqrt{2}{\ }x^2+1)(x^4+\sqrt{2}{\ }x^2+1)$

Answer 3

Descomposición en fracciones parciales. Cálculo fácil. http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction

Answer 4

Cuadráticos real, $ x^8 + 1$ es %#% $ #%

Consegui esto por encontrar $$ (x^2 - \; x \sqrt{2 + \sqrt 2} \; + 1) (x^2 + x \sqrt{2 + \sqrt 2} + 1) (x^2 - x \sqrt{2 - \sqrt 2} + 1) (x^2 + x \sqrt{2 - \sqrt 2} + 1) $ y $\cos \frac{\pi}{8}$ por otra parte, usted puede ver fácilmente la relación con la respuesta de M. Strochyk.

Lo que esto significa es que, a costa de raíces cuadradas en toda la creación, fracciones parciales puede llevarse a cabo completamente, probablemente incluyendo $\sin \frac{\pi}{8}.$ y $\arctan$ condiciones, lo que cada vez más generalmente sube.