Límites de $\binom{n}{cn}$ $0 < c < 1$.

Question

¿Hay muy buena superior y límites inferiores para $\binom{n}{cn}$ cuando un constante $c$ $0 < c < 1$? Sé que $\left(\frac{1}{c^{cn}}\right) \leq \binom{n}{cn} \leq \left(\frac{e}{c}\right)^{cn}$.

Answer 1

La fórmula de Stirling, $$ \begin{align}{n\choose cn}&\approx\frac{n^n e^{-n}\sqrt{2\pi n}}{(cn)^{cn}e^{-cn}\sqrt{2\pi cn}\cdot ((1-c)n)^{(1-c)n}e^{-(1-c)n}\sqrt{2\pi (1-c)n}}\\&=\frac{1}{c^{cn}(1-c)^{(1-c)n}\sqrt{2\pi c(1-c)n}}\end{align}.$ $ se pueden activar $\approx$ al bien superior y límites inferiores fillig en los detalles del término de error en la fórmula de Stirling.

Edición: Cada $n\geqslant1$ y cada $c$ $(0,1)$ tal que $cn$ es un número entero, $$ \frac{2\pi/\mathrm e ^ 2} {c ^ {cn}(1-c) ^ {(1-c) n} \sqrt {2\pi c (1-c) n}} \leqslant {n\choose cn} \leqslant\frac {\mathrm e/\sqrt {2\pi}} {c ^ {cn}(1-c) ^ {(1-c) n} \sqrt {2\pi c (1-c) n}}. $$ La relación entre los límites superiores e inferiores es $\lt1.275$.

Answer 2

Stirling Asintótica de Expansión, derivados de aquí, es $$ n!=\sqrt{2\pi n}\,n^ne^{-n}\left(1+\frac1{12n}+\frac1{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}-\frac{571}{2488320n^4}+O\left(\frac1{n^5}\right)\right) $$ De la que podemos obtener $$ \begin{align} &\frac{n!}{(cn)!((1-c)n)!}\\[6pt] &=\frac{\left(c^c(1-c)^{1-c}\right)^{-n}}{\sqrt{2\pi c(1-c)n}}\small\left(1-\frac{1-c+c^2}{12c(1-c)}\frac1n+\frac{1-2c+3c^2-2c^3+c^4}{288c^2(1-c)^2}\frac1{n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)\right) \end{align} $$

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Absoluta De Los Límites

Para $n\ge1$, $$ \sqrt{2\pi n}\,n^ne^{-n}\left(1+\frac1{12n}\right)\le n!\le\sqrt{2\pi n}\,n^ne^{-n}\left(1+\frac1{12n}+\frac1{288n^2}\right) $$ lo que da $$ \sqrt{2\pi n}\,n^ne^{-n}\le n!\le\frac{313}{288}\sqrt{2\pi n}\,n^ne^{-n} $$ De la que podemos obtener, para $1\le cn\le n-1$, $$ \left(\frac{288}{313}\right)^2\frac{\left(c^c(1-c)^{1-c}\right)^{-n}}{\sqrt{2\pi c(1-c)n}} \le\binom{n}{cn} \le\frac{313}{288}\frac{\left(c^c(1-c)^{1-c}\right)^{-n}}{\sqrt{2\pi c(1-c)n}} $$ Tenga en cuenta que $$ \frac{e}{\sqrt{2\pi}}\doteq1.0844\lt1.0868\doteq\frac{313}{288} $$ así que esto es cerca de Hagen von Eitzen la respuesta.

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El límite mencionado en Hagen respuesta se basa en el hecho de que la proporción $$ \frac{\Gamma(n)}{\sqrt{2\pi n}\,n^ne^{-n}} $$ es la disminución en $n$. Por lo tanto, la mayor proporción es de $n=1$ y por lo tanto, $$ \sqrt{2\pi n}\,n^ne^{-n}\le n!\le\frac{e}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi n}\,n^ne^{-n} $$

Answer 3

Sugerencia: como $n$ va al infinito, puede aproximar $\binom{n}{cn}$ por la función de entropía como sigue: $$ \binom{n}{cn}\approx e^{nH(c)}. $$ donde $H(c)=-c\log(c)-(1-c)\log(1-c)$