El mapa del Plaza $SO(n)$

Question

Sea $P:SO(n) \to SO(n)$ el mapa Plaza $P(A)=A^2$.

¿$P$ Define una cubierta mapa estructura?

¿Si es así, hay una acción de un grupo finito $G$ $SO(n)$ tal que cada fibra del espacio de la cubierta es una $G$-órbita y cada órbita es una fibra?

¿En caso afirmativo, pueden los paquetes de la tangentes de $SO(n)$ actuar por $G$ tal manera que obtenemos una estructura de paquete $G$?

Answer 1

No puede ser un mapa de cobertura $n>2$, desde el grupo fundamental de la $SO(n)$ $n>2$ es finito, por lo tanto, no puede cubrirse con más de una hoja. Pero tenga en cuenta que $P(I)=I$ y $P(A)=I$, donde $$ A =\begin{pmatrix} -1 & 0 &0 & \cdots & 0 \\ 0 &-1 & 0 &\cdots &0 \\ 0 &0 & 1 &\cdots & 0 \\ 0 &0 &0 &\cdots &1 \end{pmatrix}. $$

$n=2$ $SO(n)$ Es $S^1$, por lo que el mapa es un mapa de cobertura.

$n=1$, Es la identidad, por lo que el mapa es un mapa de cobertura.

Answer 2

Hay varios obstáculos para este mapa está cubriendo un mapa para $n \ge 3$. Una simple, es que sus fibras no son discretas: por ejemplo, $P^{-1}(I)$ contiene todos los $180^{\circ}$ rotaciones sobre cada eje.

Como alternativa, puede utilizar el hecho de que un mapa entre cerró los colectores es una cubierta mapa iff es un local diffeomorphism y, a continuación, calcular el diferencial de $P$ para ver donde falla al ser un local diffeomorphism. El espacio de la tangente en un elemento $X \in SO(n)$ puede ser identificado con el conjunto de matrices de la forma $X(I + \epsilon Y)$ donde $Y \in \mathfrak{so}(n)$ es un sesgo de simetría de la matriz y $\epsilon^2 = 0$. El cuadrado de dicha matriz da

$$\left( X + \epsilon XY \right)^2 = X^2 + \epsilon (X^2 Y + XYX) = X^2 \left( I + \epsilon (Y + X^{-1} Y X) \right).$$

Por lo que el diferencial de $P_X$ puede ser identificado con el lineal mapa de $Y \mapsto Y + X^{-1} Y X$. Este es un isomorfismo iff ha trivial núcleo, y su núcleo consta de matrices $Y$ satisfacción $Y + X^{-1} Y X = 0$.

Las matrices $Y$, que algunos $X$ existe con esta propiedad son matrices conjugado de a $-Y$ por un elemento de a $SO(n)$. Cada sesgo de simetría de la matriz de $Y$ es conjugado a $-Y$, incluso por un elemento de a $O(n)$, como sigue: $Y$ es conjugado a través de un elemento de $O(n)$ a un bloque de matriz diagonal cuyos bloques tienen la forma

$$\left[ \begin{array}{cc} 0 & \theta \\ - \theta & 0 \end{array} \right]$$

para algunos $\theta$, y cualquier tipo de bloque es conjugado a su negación a través de una reflexión. La condición adicional de que necesitamos $Y$ a ser conjugado de a $-Y$ a través de un elemento de $SO(n)$ significa que tenemos que hacer un número par de reflexiones, que es siempre posible cuando se $n \ge 4$. Al $n = 3$ uno de los autovalores de a $Y$ es cero y por lo que podemos sólo se adhieren a $-1$ a $X$ según sea necesario.

Por tanto, para cualquier valor distinto de cero de a $Y$ podemos encontrar $X$ con la anterior propiedad, y así hay muchos puntos en los que el diferencial de falla a ser surjective y por lo tanto, cuando $P$ falla al ser un local diffeomorphism.