Colorear una tarjeta de $9\times9$

Question

Considere la posibilidad de una $9 \times 9$ junta, y queremos pintar cada una de las $81$ plazas de blanco o negro. Hay $64$ $2\times2$ plazas dentro de la $9\times9$ junta, y hay $16$ diferentes $2\times2$ "pinturas" (por ejemplo, $\begin{pmatrix} W&B\\B&W\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} B&B\\B&W\end{pmatrix}$, etc.).

Pregunta: Por el Principio del Palomar, al menos uno de los $16$ $2\times2$ las pinturas deben aparecer al menos $\frac{64}{16} = 4$ veces. Hay, sin embargo, una realización que utiliza cada $2\times2$ pintura exactamente $4$ veces?

Mejor Intento: tengo el siguiente $9\times9$ obra maestra, que utiliza $14$ $2\times2$ pinturas exactamente 4 veces, pero utiliza $\begin{pmatrix} B&B\\B&W\end{pmatrix}$ $5$ veces y $\begin{pmatrix} W&B\\B&B\end{pmatrix}$ $3$ veces. Ver aquí:

Answer 1

Azulejo en el avión, con copias de la $4\times4$ patrón

$$\pmatrix{0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&1&1\\0&1&1&1}$$

(usando, por ejemplo $0$ para el Negro y $1$ para el Blanco). Entonces cualquier $9\times9$ subarray contendrá la $16$ diferentes $2\times2$ patrones exactamente $4$ veces.

La idea básica aquí es identificar los bordes opuestos de la $4\times4$ matriz, logrando un toro fuera de la plaza. Es un poco laborioso, pero no todo lo que duro, para comprobar que el $16$ diferentes $2\times2$ patrones de ocurrir exactamente una vez. Cuatro copias de la misma, por lo tanto, de nuevo con toroidal identificación de los bordes, contienen el $16$ patrones de $4$ los tiempos de cada uno. El búfer de cuatro copias con un extra de fila y columna simplemente hace que el toroidal de identificación explícita.

Comentario: Pedro $9\times9$ solución no es de este "toroidal" basado en la forma.

Answer 2

[0 1 0 0 1 1 0 0 0]

[1 1 1 0 1 0 1 1 1]

[1 1 0 1 0 0 0 0 1]

[1 1 1 1 0 0 1 0 0]

[0 1 0 1 1 1 1 1 1]

[1 0 1 0 1 1 1 0 0]

[0 0 1 0 0 0 0 0 1]

[1 0 1 0 1 0 0 0 1]

[0 0 0 1 1 0 0 1 0]

debe ser un colorante satisfaciendo la condición! ¿Alguien puede comprobarlo?