Convergencia de la distribución

Question

Esto es de Probabilidad y Medida por Billingsley, 3ª Edición.

27.21 (p. 370) Deje $X_1, X_2,...$ ser independientes e idénticamente distribuidas, y supongamos que la distribución común a la $X_n$ es apoyado por $[0,2\pi]$ y no es una red de distribución. Deje $S_n=X_1+\cdots+X_n$, donde la suma se reduce modulo $2\pi$. Mostrar que $S_n \Rightarrow U$ donde $U$ es distribuido uniformemente sobre $[0,2\pi]$.

Alguien puede proporcionar algunas pistas? Gracias!

P. S. Este problema remite a otros dos problemas. A saber:

26.1 (p. 353) Una variable aleatoria tiene una celosía de distribución si por alguna $a$ y $b$, $b>0$, el entramado $\{a+nb:n=0,\pm 1,\dots\}$ apoya la distribución de $X$. Deje $X$ tienen función característica $\varphi$. (a) Demostrar que una condición necesaria para $X$ tener una red de distribución es que el $|\varphi(t)|=1$ algunos $t\neq 0$. (b) Mostrar que la condición es suficiente así. (c) Suponga que el $|\varphi(t)|=|\varphi(t')|=1$ para inconmensurables $t$ y $t'$ ($t\neq 0$, $t'\neq 0$, $t/t'$ irracional). Mostrar que $P\{X=c\}=1$ para algunas constantes $c$.

26.29 (p. 356) (a) Supongamos $X'$ $X''$ son independientes al azar varibles con valores en $[0,2\pi]$, y deje $X$ $X'+X''$ de reducción en el módulo de $2\pi$. Muestran que los correspondientes coeficientes de Fourrier satisty $c_m=c_m' c_m''$. (b) Demostrar que si uno o el otro de $X'$ $X''$ es distribuido uniformemente, por lo que es $X$.

Answer 1

Una idea interesante es la siguiente: De todas las distribuciones en $[0,2\pi]$, la distribución uniforme maximiza la entropía. Así que usted podría intentar probar que el promedio de operador no puede disminuir la entropía, entonces resulta natural suponer que existe una corrección para esta iteración del promedio de operador, que debe ser el máximo de entropía de la distribución. El punto de la información que estos no son de celosía-distribuciones sería para asegurarse de que no podemos quedar atrapados por una solución de punto con menor entropía. Google por "la entropía del teorema central del límite" hay incluso un libro con el que en el título!

Estas ideas están relacionadas con lo que los físicos llaman re-teoría de normalización.

Answer 2

Parece que tendría que averiguar la función característica de esta suma. Las 26,29 sugerencias de problema en este c.f. convergente a la de la distribución uniforme, en virtud de los coeficientes a cero poderes de $t$ ir a cero. Tendría que verificar todas las condiciones de regularidad, por supuesto.