pregunta de $2$ en matriz, con alguna condición

Question

tenemos que decir si $a,b$ true o false,

¿Sé que no existe $n\times n$ $A,B$ tal que $(AB-BA)=I$, como si se tiene rastro de ambos lados no son iguales, por lo $a$ es falso?

¿$b$ no tengo ni idea, alguno me podría dar consejo?

Answer 1

(a) Deje $C = AB - BA$. Entonces tenemos que los autovalores de a $(I-C)^n$ todos los $0$, y por lo tanto los autovalores de a $I - C$ también son todos cero. (Aquí utilizamos el hecho de que si $\lambda$ es un autovalor de a $A$ $\lambda^n$ es un autovalor de a $A^n$).

Por lo tanto, los autovalores de a $C$ todos los $1$, lo que implica que la traza de $C$$n$. Por otro lado, $tr(AB) = tr(BA)$ implica que el $tr(C) = tr(AB - BA) = 0$, una contradicción.

Así, ninguna de estas matrices de existir.

(b) $a_1,a_2, \cdots, a_n$ a los valores propios de a $A$, y tenga en cuenta que $\displaystyle tr(A) = \sum_{i=1}^n a_i, \ \ \ \det(A) = \prod_{i=1}^n a_i$.

Como positiva la certeza de $A$ nos da ese $a_1, a_2, \cdots, a_n$ son todos positivos, por lo tanto aplicamos la AM-GM de la Desigualdad que de inmediato nos da lo que es necesario.

Answer 2

$A$ Es simétrica y positiva, $A$ es diagonalizable y existen $a_1,a_2 \cdots a_n$ son los valores propios de una nonnegatives. Entonces,\begin{equation} \dfrac{a_1+a_2 \cdots +a_n}{n} \ge (a_1\cdot a_2 \cdots a_n)^{1/n}, \end{equation} y sigue\begin{equation} \dfrac{tr(A)}{n}\ge det(A))^{1/n}. \end{equation}