Módulos finitos sobre anillos locales finitos

Question

Deje que $R$ ser un anillo local conmutativo finito con identidad. Si $M$ es un finito $R$ -módulo que es necesariamente proyectivo?

Answer 1

Dejemos que $p$ sea un número primo. Sea $R = \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ . Sea $M = R/pR$ . Dado que el número de elementos de $M$ es $p$ , $M$ no puede ser libre. Por lo tanto, $M$ no puede ser proyectiva.

Answer 2

Como señaló Andrew, todo módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo local es libre (de hecho, la hipótesis de ser finitamente generado puede ser eliminada - esto es un teorema de Kaplansky). Por lo tanto, queda por demostrar que existe un módulo no libre. Pero tenemos la siguiente caracterización:

Un anillo conmutativo $R$ es un campo si y sólo si cada módulo es libre.

Un ejemplo concreto: si $R$ es un anillo conmutativo que no es un campo, sea $I$ sea un ideal propio no nulo. Entonces $R/I$ es un módulo, que no es libre (su aniquilador es $I$ ).

Answer 3

Contraejemplo directo: Sea $R=\mathbb F_p[t]/(t^2),M=\mathbb F_p = R/(t).$ Entonces $M$ es finito pero no libre, ya que $M$ es la torsión con $Ann(M)=(t).$