Teoremas con una excepción extraordinaria o un pequeño número de excepciones esporádicas

Question

El Teorema del isomorfismo del gráfico de Whitney da un ejemplo de excepción extraordinaria: una afirmación muy general es válida excepto para un caso muy específico.

Otro ejemplo es el teorema de clasificación para grupos simples finitos La afirmación es muy general, salvo en el caso de muy pocos (26) casos esporádicos.

Estoy buscando más de este tipo de teoremas-con-no-tan-esporádicos-excepciones

( añadido: ) donde las excepciones no vienen seguidas y/o al principio - sino que están dispersas realmente esporádicamente .

(¡Un agradecimiento tardío a Asaf!)

Answer 1

El número de particiones de $n\geq 0$ en partes congruentes con $\pm 1, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 7, \pm 9, \pm 11, \pm 13, \pm 16, \pm 21, \pm 23, \pm 28$ (mod 66) es igual al número de particiones de $n\geq 0$ en partes congruentes con $\pm 1, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 7, \pm 9, \pm 11, \pm 14, \pm 16, \pm 17, \pm 27, \pm 29$ (mod 66) excepto $n=13$ . Ver aquí y aquí para este y muchos resultados similares.

Answer 2

Las curvas modulares $X_0(N)$ no tienen ningún automorfismo excepcional, excepto $N=37$ , $63$ y $108$ .

Recordemos el grupo modular $$\Gamma_0(N):=\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \ : \ c \equiv 0 \pmod n \right\} $$ que actúa en el semiplano superior $$\mathbb{H}:=\{z\in \mathbb{C}\ : \ \operatorname{Im}(z)>0\}$$ mediante transformaciones de Moebius. El cociente $\Gamma_0(N)\backslash \mathbb{H}$ es analíticamente isomorfa a una curva algebraica afín sobre $\mathbb{C}$ con una curva proyectiva no sinular asociada $X_0(N)$ , la curva modular clásica . Supongamos que el género de esta curva es $\ge 2$ (lo que ocurre para todos los $N$ excepto un número finito de ellas, incluyendo todas $N>36$ , $N\ne 49$ ).

El normalizador $N(n)$ de $\Gamma_0(N)$ dentro de $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ actúa naturalmente como automorfismo en $X_0(N)$ y es natural preguntarse si son todos automorfismos. Ogg demostró en 1974 que esto es así si $N$ es libre de cuadrados y $N\ne 37$ que tiene un automorfismo excepcional que no proviene de $N(37)$ . En 1988, Kenku y Momose demostraron que existía un automorfismo no excepcional excepto $N=37$ y puede ser para $N=63$ . Elkies, en 1990, demostró que realmente existía un automorfismo excepcional para $N=63$ .

Pero en 2011, después de más de 20 años, Michael Colin Harrison, al revisar la prueba de Kenku y Momose descubrió que no podía descartar el caso $N=108$ por sus argumentos. Después de hacer algunos cálculos con la ayuda de MAGMA fue capaz de encontrar un automorfismo excepcional para $N=108$ , confirmado posteriormente por Elkies. El resultado sólo se publicó en el arxiv.

Para más información se puede consultar el preprint de Harris: Un nuevo automorfismo de $X_0(108)$ .

Answer 3

Todo gráficos triangulares $T_n$ son determinado por su espectro excepto en el caso de $n=8$ .

Answer 4

Este documento http://www.jstor.org/stable/2323537?origin=crossref&seq=1#page_scan_tab_contents muestra que en cierto sentido, $\mathbb R^n$ sólo puede tener un producto cruzado definido en él si $n=3$ o $7$ .

Answer 5

Casi todos los teoremas de la aritmética que se refieren a los números primos fallan por $2$ .