Teoremas con una excepción extraordinaria o un pequeño número de excepciones esporádicas

Question

El Teorema del isomorfismo del gráfico de Whitney da un ejemplo de excepción extraordinaria: una afirmación muy general es válida excepto para un caso muy específico.

Otro ejemplo es el teorema de clasificación para grupos simples finitos La afirmación es muy general, salvo en el caso de muy pocos (26) casos esporádicos.

Estoy buscando más de este tipo de teoremas-con-no-tan-esporádicos-excepciones

( añadido: ) donde las excepciones no vienen seguidas y/o al principio - sino que están dispersas realmente esporádicamente .

(¡Un agradecimiento tardío a Asaf!)

Answer 1

Hay varios teoremas en topología y geometría que se aplican a las variedades de todas las dimensiones excepto 3 y a veces 4. Por ejemplo, del espacio euclidiano excepto $\mathbb{R}^3$ y a veces $\mathbb{R}^4$ . También se han demostrado algunas conjeturas para $\mathbb{R}^n$ n != 3 (resp {3,4}), pero que son cuestiones abiertas para n = 3 ({3,4}). Wikipedia lo describe así:

[L]os casos $N = 3$ o $4$ tienen la geometría y la topología más ricas y difíciles. Existen, por ejemplo, enunciados geométricos cuya verdad o falsedad se conoce para todos los N excepto uno o ambos de 3 y 4. N = 3 fue el último caso de la conjetura de Poincaré que se demostró.

Utilizando el politopos regulares como ejemplo:

• Hay exactamente 3 politopos regulares (convexos), los n-símbolos, los -cubos y los -ortopolos que existen en todas las dimensiones, excepto 3 y 4, que tienen varios sólidos platónicos adicionales y policoras regulares sin análogos superiores (ignorando los casos triviales de dimensiones 1 y 2).
• No hay polítopos regulares no convexos excepto en las dimensiones 2, 3 y 4.

Además,

• Teorema de Moise se mantiene sólo en 3 dimensiones.
• Hay exactamente 1 estructura diferenciable en $\mathbb{R}^n$ hasta el difeomorfismo, excepto para n = 4 que tiene infinitos. Véase "Hecho bizarro 48" .

En cierto sentido, los espacios de 3 y 4 dimensiones son privilegiados. Esto tiene implicaciones en la filosofía de la física: ¿por qué el espacio ( aparentemente ) tienen 3 dimensiones espaciales en lugar de 2 o 527 ?

Ver también 3 manifiesto , fenómenos especiales de los 4 manifolds , topología de baja dimensión .

Answer 2

Teorema de Vinogradov de que todos los números Impares, excepto un número finito, son la suma de tres primos.

No estoy seguro del estado actual de la conjetura de Goldbach.

Un teorema a mi nivel de matemáticas: Todos los primos mayores que dos son Impares.

Answer 3

No estoy seguro de que esto encaje en el ámbito de la pregunta, no es tan avanzado como las demás sugerencias, pero me parece bastante elegante y sorprendente:

No existe ningún número entero positivo intercalado entre un cuadrado perfecto y un cubo perfecto, con la única excepción de $26$ - equivale a decir que la única solución de $a^2 \pm 2 = b^3$ es $(5, 3)$ .

Por supuesto, ésta es sólo una de las muchas ecuaciones diofantinas que admiten una sola solución, pero tiene un significado especial cuando se ve desde un punto de vista menos abstracto.

Otro bonito:

Para cualquier primo $p$ el producto de sus raíces primitivas es congruente con $1$ modulo $p$ , excepto en el caso de $p = 3$ cuyo producto es igual a $2$ (resultado debido a Gauss).

Answer 4

El movimiento browniano es transitorio en todas las dimensiones, a excepción de las dimensiones 1 y 2.

Answer 5

Las ecuaciones polinómicas de todos los grados no tienen solución general en radicales, a excepción de los grados 1, 2, 3 y 4.