Teoremas con una excepción extraordinaria o un pequeño número de excepciones esporádicas

Question

El Teorema del isomorfismo del gráfico de Whitney da un ejemplo de excepción extraordinaria: una afirmación muy general es válida excepto para un caso muy específico.

Otro ejemplo es el teorema de clasificación para grupos simples finitos La afirmación es muy general, salvo en el caso de muy pocos (26) casos esporádicos.

Estoy buscando más de este tipo de teoremas-con-no-tan-esporádicos-excepciones

( añadido: ) donde las excepciones no vienen seguidas y/o al principio - sino que están dispersas realmente esporádicamente .

(¡Un agradecimiento tardío a Asaf!)

Answer 1

Todo automorfismo de $S_n$ es interior si $n \neq 6$ .

P.D. Que $S_6$ tiene un automorfismo exterior "esencialmente" único es un hecho no evidente.

Answer 2

He publicado esta respuesta en otras preguntas, pero vale la pena repetirla:

El colector topológico $\mathbb{R}^n$ tiene una estructura suave única hasta el difeomorfismo siempre que $n \neq 4$ . Sin embargo, $\mathbb{R}^4$ admite un número incontable de estructuras lisas exóticas.

Editar: Otros pensamientos:

• El Teorema del h-cobordismo se mantiene para $n= 0, 1, 2$ y $n \geq 5$ . Está abierto para $n = 3$ y falso (sin problemas) para $n=4$ .

• He oído que muchos teoremas de la teoría de números sólo funcionan para la característica de campo $\neq 2$ (pero mi formación en teoría de números es lamentablemente escasa).

• $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ es cíclico si $n = 1, 2, 4, p^k, 2p^k$ , donde $p$ es un primo de impar, $k \geq 1$ . (Es cierto que no hay un finito número de excepciones aquí, pero quería mencionarlo de todos modos).

Answer 3

Teorema de Carmichael: Cada número de Fibonacci $F_n$ tiene un factor primo que no divide ningún número de Fibonacci anterior, excepto $F_1 = F_2 = 1$ , $F_6 = 8$ y $F_{12} = 144$ .

Este es un caso especial de su resultado más general: Sea $P,Q$ sean números enteros no nulos tales que $P^2 > 4Q$ y considerar la secuencia de Lucas $D_1 = 1$ ; $D_2 = P$ ; $D_{n+2} = P \cdot D_{n+1} - Q \cdot D_n$ . Entonces, todos menos un número finito de $D_n$ tienen un factor primo que no divide $D_m$ para cualquier $m < n$ las únicas excepciones posibles son $D_1$ , $D_2$ , $D_6$ y $D_{12}$ .

Answer 4

Cada subregión simplemente conectada de $\mathbb C$ es conformemente equivalente al disco unitario, con la excepción de $\mathbb C$ sí mismo.

Answer 5

Para los enteros positivos libres de cuadrados $d$ todo campo cuadrático imaginario $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ tiene un número de clase mayor que 1 a menos que $d$ es igual a uno de los números de Heegner: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.