Deje $H$ ser una de infinitas dimensiones separables espacio de Hilbert.
Definición : Un operador $A \in B(H)$ es normal si $AA^{*} = A^{*}A$.
Definición : El espectro de $\sigma(A)$ $A \in B(H)$ , es el conjunto de todos los $\lambda \in \mathbb{C}$ tal que $A - \lambda I$ no es bijective.
Se descompone de la siguiente manera:
- Punto de espectro: $\sigma_{p}(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} : A - \lambda I \text{ not injective} \}$
- Espectro continuo: $\sigma_{c}(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} : A - \lambda I \ \text{ injective with a dense nonclosed range} \}$
- Espectro Residual: $\sigma_{r}(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} : A - \lambda I \ \text{ injective with a nondense range} \}$
Ejemplos:
- Deje $S$ ser bilateral de cambio definido en $H = l^{2}(\mathbb{Z})$$S.e_{n} = e_{n+1} $.
Su espectro es estrictamente continua : $\sigma(S) = \sigma_{c}(S) = \mathbb{S}^{1}$.
También es un operador unitario ($SS^{*} = S^{*}S = I$), por lo que, a fortiori, una normal del operador. - Deje $T$ ser unilateral de cambio definido en $H = l^{2}(\mathbb{N})$$T.e_{n} = e_{n+1} $.
Su espectro no es estrictamente continua debido a $0 \in \sigma_{r}(T)$.
Es un anormal operario, debido a que $[T^{*},T].e_{0} = e_{0}$.
Hay un anormal del operador con el espectro estrictamente continua ?
Bono de preguntas : ¿se Puede excluir el compacto de los operadores ? Cómo clasificar estos operadores ?
