Un extraño paso en una prueba acerca de la distribución de formas cuadráticas

Question

El siguiente teorema viene de la 7ª edición de "Introducción a la Estadística Matemática" por Hogg, Craig y Mckean y se refiere a la condición necesaria y suficiente para la independencia de dos formas cuadráticas de variables normales.

Este es un lugar mucho extracto, pero lo agradecería ayuda, es sólo la transición de 9.9.6 a 9.9.7. He incluido los pasos anteriores, solo para darle el panorama general en el caso de un resultado anterior se utiliza de forma implícita. Podría usted por favor me ayuden a entender entonces por qué 9.9.6 y 9.9.7 son representaciones equivalentes? He intentado derivar 9.9.7 por mi cuenta, pero todos mis intentos terminó en frustración.

La prueba de que pasa después de eso, pero no tengo ningún otro problema. Gracias de antemano.

Answer 1

(9.9.6) Estados that$${\mathbf {AB}}=\{\mathbf{\Gamma_{11}'\Lambda_{11}}\}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}\{\mathbf{\Lambda_{22}\Gamma_{21}}\}={\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}$$Hence multiplying left and right by $\mathbf{U}'$ and $\mathbf{V}'$, conseguimos $$\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'=\mathbf{U}'{\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}\mathbf{V}'$$and $$(\mathbf{U}'{\mathbf U})^{-1}\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'({\mathbf V}\mathbf{V}')^{-1}=\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}$$I see no reason for the inner $%\mathbf{U}'$ and $\mathbf{V}'$ to vanish so I would bet on a typo. However the conclusion remains the same, namely that $$\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}=0$$ if and only if$$\mathbf{{AB}}=0$$

Answer 2

Contacté con el autor el Profesor Joseph W. McKean que achknowledged el error y muy amablemente se ofreció a la corrección. Estoy publicando aquí, en caso de que alguien más en el estudio de su propio en la necesidad de eso.

---

Después de (9.9.6) escribe:

Deje $\mathbf{U}$ denotar la matriz en el primer set de llaves. Tenga en cuenta que $\mathbf{U}$ total columna de rango, por lo que su el kernel es nulo; es decir, su núcleo consta de los vectores $\mathbf{0}$. Deje $\mathbf{V}$ denotar la matriz en la segunda conjunto de llaves. Tenga en cuenta que $\mathbf{V}$ tiene una fila completa de rango, por lo tanto el núcleo de $\mathbf{V}^{\prime}$ es null.

Para la prueba, entonces, supongamos $\mathbf{AB}=\mathbf{0}$. Entonces

$$\mathbf{U}\left[\mathbf{\Gamma}_{11}\mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}\mathbf{V}\right]=\mathbf{0}$$

Debido a que el núcleo de $\mathbf{U}$ es nula, lo que implica que cada columna de la matriz en el paréntesis es $\mathbf{0}$. Esto implica que

$$\mathbf{V}^{\prime} \left[ \mathbf{\Gamma}_{21} \mathbf{\Gamma}_{11} \right]=\mathbf{0}$$

De la misma manera, debido a que el núcleo de $\mathbf{V}^{\prime}$ es null tenemos $\mathbf{\Gamma}_{11} \mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}=\mathbf{0}$. Por lo tanto, por $\left(9.9.5 \right)$...

(y la prueba continúa en el otro sentido)

---