Con el cálculo de residuos, pon $$ f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}\log z$$ donde $log$ denota el natural rama, es decir, con un corte de rama a lo largo del eje real positivo. Integrar sobre un contorno de ojo de cerradura:
Suponiendo que $\deg Q \ge 2+ \deg P$ y que $Q$ no tiene ningún cero en el eje real positivo, no es difícil demostrar que la integral sobre el círculo grande y el grande desaparecen como $R \to \infty$ y $\varepsilon \to 0$ . Lo que queda es (después de alguna cancelación a lo largo del eje real positivo):
$$ -2\pi i \int_{0}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx = 2\pi i \sum \operatorname{Res} \Big( \frac{P(z)\log z}{Q(z)} \Big) $$ donde la suma se toma sobre todo polos de $P/Q$ (no sólo los de un medio plano). Recuerde utilizar la rama correcta de $\log$ cuando se calculan los residuos.
Por supuesto, si $P/Q$ resulta ser par, tienes una solución más corta.
Algunos ejemplos concretos:
- Integral real por contorno de ojo de cerradura
- ¿Existe un método elemental para evaluar $\int_0^\infty \frac{dx}{x^s (x+1)}$ ? (no es una función racional, pero es la misma idea)
- Análisis complejo y teorema del residuo. (de nuevo no es una función racional)