Cualquier método general para calcular la integral de $P(x)/Q(x)$ de $0$ a $\infty$ ?

Question

En el análisis complejo, tenemos la fórmula general para $P(x)/Q(x)$ [ $P$ y $Q$ son polinomios] de menos infinito a infinito, si $\deg Q - \deg P > 2$ .

¿Es posible tener una fórmula general para la integral impropia de P(x)/Q(x) de 0 a infinito? Como,

$$\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^3} \mathrm{d} x =\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$

$$\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x+x^2+x^3} \mathrm{d} x =\frac{\pi}{4}$$

$$\int_0^{\infty} \frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)} \mathrm{d} x=\frac{\ln(4/3)}{2}$$

Answer 1

Con el cálculo de residuos, pon $$f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}\log z$$ donde $log$ denota el natural rama, es decir, con un corte de rama a lo largo del eje real positivo. Integrar sobre un contorno de ojo de cerradura:

Suponiendo que $\deg Q \ge 2+ \deg P$ y que $Q$ no tiene ningún cero en el eje real positivo, no es difícil demostrar que la integral sobre el círculo grande y el grande desaparecen como $R \to \infty$ y $\varepsilon \to 0$ . Lo que queda es (después de alguna cancelación a lo largo del eje real positivo):

$$-2\pi i \int_{0}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx = 2\pi i \sum \operatorname{Res} \Big( \frac{P(z)\log z}{Q(z)} \Big)$$ donde la suma se toma sobre todo polos de $P/Q$ (no sólo los de un medio plano). Recuerde utilizar la rama correcta de $\log$ cuando se calculan los residuos.

Por supuesto, si $P/Q$ resulta ser par, tienes una solución más corta.

Algunos ejemplos concretos:

1. Integral real por contorno de ojo de cerradura
2. ¿Existe un método elemental para evaluar $\int_0^\infty \frac{dx}{x^s (x+1)}$ ? (no es una función racional, pero es la misma idea)
3. Análisis complejo y teorema del residuo. (de nuevo no es una función racional)