Cómo encontrar $I=\iint_{-1\le x\le 1,x\le y\le 1}y\left(e^{-|y|^3}+\sin{x}\right) \, dx \, dy$

Question

Encontrar a $$I=\iint_{-1\le x\le 1,x\le y\le 1}y\left(e^{-|y|^3}+\sin{x}\right) \, dx \, dy.$ $

Creo que esta integral puede ser evaluada usando $\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x) \, dx=0$ si $f(x)=-f(-x)$.

¿Alguien tiene un método agradable?

Answer 1

Sugerencia: Lo único que nos puede ayudar aquí es cambiar los límites de las integrales. Me refiero a $$\int_{-1}^{1}\int_x^1f(x,y) \, dy \, dx\longrightarrow\int_{-1}^{1}\int_{-1}^yf(x,y) \, dx \, dy$ $

Answer 2

Que $$B:=\{(x,y)\>|\>-1\leq x\leq 1,\ x\leq y\leq 1\}$$ and put $$B_x:=\{y\>| \>(x,y)\in B\}=[x,1]\qquad(-1\leq x\leq 1)\ ,$ $ $$B^y:=\{x\>|\>(x,y)\in B\}=[-1,y]\qquad(-1\leq y\leq 1)\ .$ $ después $ de $$\int\nolimits_B y\>\sin x\ {\rm d}(x,y)=\int_{-1}^1 \left(\sin x\int\nolimits_{B_x} y\ dy\right)\ dx={1\over2}\int_{-1}^1 \sin x\>(1-x^2)\ dx=0\ .$ se deduce que la integral ($=:J$) es igual a (esta vez integramos primero con respecto a los $x$): $$\int\nolimits_B y\>e^{-|y|^3}\ {\rm d}(x,y)=\int_{-1}^1 \left( y\>e^{-|y|^3} \int\nolimits_{B^y} dx\right)\ dy=\int_{-1}^1 y\>e^{-|y|^3}(y+1)\ dy\ .$ $ por la simetría, obtenemos finalmente $$J=2\int_0^1 y^2 e^{-y^3}\ dy=-{2\over3}e^{-y^3}\biggr|_0^1={2\over3}(1-e^{-1})\ .$ $

Answer 3

El siguiente método es relativo simples, debido a la explotación de la simetría.

Dividir la región en dos como figura de arriba. La región azul es el triángulo superior: $$ \{ 0\leq y\leq 1, y-\le x\le y \}. $$ Cian región es el triángulo izquierdo: $$ \{ -1\leq x\leq 0,x\le y\le-x \}. $$

La integración en la región azul es: $$I_1 = \iint_{-1\le x\le 1, y-\le x\le y\le 1}y\a la izquierda(e^{-|y|^3}+\sin{x}\right) \, dx \, dy \\ = \int_{0}^1\int_{-y}^y\a la izquierda( a y e^{-y^3}+ \color{\rojo}y\color{\rojo}{\sin{x}}\right) \, dx \, dy.$$

Rojo término se desvanece debido a $\sin x$ es impar: $$ \int_{-y}^y y\sin{x} \,dx = 0. $$

Por lo tanto $$I_1 =\int_{0}^1\int_{-y}^y y e^{-y^3}\, dx \, dy = \int_{0}^1 2y^2 e^{-y^3} \,dy= \frac{2}{3}(1-e^{-1}).$$

La integración en el cian región es: $$ I_2 = \iint_{-1\le x\le 0,x\le y\le-x}y\a la izquierda(e^{-|y|^3}+\sin{x}\right) \, dx \, dy\\ = \int_{0}^{-1}\int_{-x}^x\left( \color{\rojo} de{y} e^{-\color{\rojo}{|y|}^3}+ \color{\rojo} de{y}\sin{x}\right) \, y \, dx. $$ Ambos términos se desvanece, porque $ y e^{-|y|^3}$ $y\sin{x}$ son impares con respecto a $y$: $$ \int_{-x}^x\a la izquierda( a y e^{-|y|^3}+ y\sin{x}\right) \, dy = 0. $$

Por lo tanto: $$ I = I_1 + I_2 = \frac{2}{3}(1-e^{-1}). $$