Intenta utilizar sólo las operaciones básicas con límites para encontrar éste:
$$\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^{n^2}}{e^n}$$
Tengo algunas ideas. ¿Es posible que sean correctas?
$$\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^{n^2}}{e^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{((1+\frac{1}{n})^{n})^n}{e^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{e^{n}}{e^n} = 1$$
Es impresionante, pero no entiendo todo lo que contiene "o". Redirígeme a la wiki o a otra cosa si puedes. O incluso decirme cómo se escribe a mí google por mí mismo. Muchas gracias.
Definición de la notación little-o la he entendido, idea realmente bonita y útil. Pero cómo se hacen las transformaciones con ella. El paso cuando se cancela el registro no está claro para mí y para otros novatos en el cálculo. Otro enlace wiki es realmente necesario aquí.
Desde \begin{eqnarray} \ln\left(1+\frac1n\right)^{n^2}&=&n^2 \ln\left(1+\frac1n\right)=n^2\left[\frac1n-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)\right]\\ &=&n-\frac12+\frac{1}{3n}+o\left(\frac{1}{n}\right), \end{eqnarray} tenemos $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac1n\right)^{n^2}}{e^n}= \lim_{n\to\infty}\exp\left[-\frac12+\frac{1}{3n}+o\left(\frac1n\right)\right]=e^{-\frac12}. $$
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Por desgracia, $(1+\frac{1}{n})^n\neq e$ , por lo que la sustitución es incorrecta. Pero tiene el comienzo de una buena idea.
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Pero por qué e no es $(1+\frac{1}{n})^n$ Acabo de comprobarlo de nuevo. Realmente necesito una pista entonces.
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Vaya y compruebe usted mismo si $n=1,2,\text{ or }3$ . Está claro que no es $\mathbf e$ .
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@IvanNeretin Oh, tan grandes números cuando $n$ es al cuadrado.
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@IvanNeretin pero cuando n no es al cuadrado está bien. ¿Qué es e si $(1+\frac{1}{n})^n$ ¿no?
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¿Qué es? $(1+\frac12)^2$ ? ¿Qué es $(1+\frac13)^3$ ? ¿Es el mismo número, para empezar? ¿Es $e$ ?
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@IvanNeretin tal vez Valery quiera decir eso $$\lim_{n \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$ ...
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@IvanNeretin por supuesto que no lo es. Pero hacemos límites, ¿no? Así que cuando $n\to\infty$ ¿por qué no podemos decir que significa e y simplificar?
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Porque cuando se simplifica así, se pierde algo valioso. Es exactamente lo mismo que si se "simplifica" $1\over n$ a $0$ - después de todo, su límite es $0$ ¿No es así? - en $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ y así concluir que dicho límite es 1, que (como sabes) no lo es.
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@IvanNeretin gracias, ya entendí lo que querías decir.