Demostrando que ${n}\choose{k}$ $=$ ${n}\choose{n-k}$

Question

Estoy leyendo Lang Pregrado Análisis:

Deje ${n}\choose{k}$ el valor del coeficiente binomial,

$${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

donde $n,k$ son enteros $\geq0,0\leq k\leq n$, e $0!$ se define a ser $1$. Demostrar la siguiente afirmación:

$${n\choose k}={n\choose n-k}$$

Procedí haciendo la adecuada sustituciones:

$${n\choose n-k}=\frac{n!}{\color{red}{(n-k)}!(n-\color{red}{(n-k)})!}$$

Y luego me simplificado y se han obtenido:

$$\frac{n!}{(n-k)!-k!}$$

Pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí, me he dado cuenta de que este resultado es muy similar a $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. ¿Qué debo hacer? Supongo que tiene algo que ver con la declaración sobre la naturaleza de la $n$$k$:

$n,k$ son enteros $\geq0,0\leq k\leq n$

Así que debo cambiar el signo a signo y pensar como un producto de la $(n-k)!$?

$$\frac{n!}{(n-k)!-k!}\Rightarrow\frac{n!}{(n-k)!+k!}\Rightarrow \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Estoy en duda porque he obtenido el tercer resultado en Mathematica, pero obtuvo la primera con papel y lápiz. No estoy seguro de si hay diferentes reglas para la simplificación con factoriales. No estoy seguro de si esto $(n-k)!+k!$ la media de una suma o de un producto en este caso.

Answer 1

La prueba has sugerido, y las otras respuestas han corregido, es lo puramente aritmético para ver la igualdad deseada. El resultado es bastante claro para ver intuitivamente, así, a reflexionar sobre lo siguiente:

"Para formar una colección de objetos $k$ $n$ total objetos, uno puede elegir qué $k$ objetos a incluir en la colección, o equivalente, uno puede elegir que $n-k$ objetos para excluir de la colección".

Answer 2

Usted simplemente no ha podido distribuir el signo negativo (es decir, multiplicando la diferencia en $-1$: $$\begin{align} n - (n - k) &= n + -1(n -k) \\ \\& = n + - 1\cdot n - (-1)\cdot k \\ \\ & = n - n + k \\ \\ &= k\end {Alinee el} $$

(Es decir, negación distribuye sobre sumas y diferencias).

$${n\choose n-k}=\frac{n!}{\color{red}{(n-k)}!(n-\color{red}{(n-k)})!} =\frac{n!}{(n-k)!(n - n + k))!} =\frac{n!}{(n-k)!(k)!}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Answer 3

$ n - (n-k) = k $, not $ -k $.

Answer 4

Recuerde, $$n-(n-k)=n-n+k=k.$ $ ahora solo uso el hecho de que la multiplicación es conmutativa para cambiar el orden de los términos en el denominador.