Ninguno de ellos es incorrecta; todos ellos son correctos dentro de su magisteria. Por eso hablamos de "grupo de isomorfismo", "el fin de isomorfismo", "campo de isomorfismo", etc. Omitimos el tipo específico cuando se entiende en el contexto. Se le pregunta qué es "correcto" y que es "incorrecto" es como pedir que muchos de los "Jones" en el directorio telefónico es "el verdadero Jones", y cuáles son impostores. Y al igual que un apellido determinado puede ser común, si en su lugar de trabajo sólo hay una persona con ese apellido, que puede ser referido como "Jones" sin miedo a la confusión.
Cuando se trabaja con grupos, que están interesados en grupo homomorphisms y grupo isomorphisms. Cuando se trabaja con semigroups, usted está interesado en semigroup homomorphisms y semigroup isomorphisms. Cuando se trabaja con conjuntos ordenados, yo uare interesado en fin homomorphisms y el orden isomorphisms. Etc.
La razón por la que un isomorfismo corresponde a la "esencialmente el mismo objeto" la idea es que un bijection funciona como un "re-etiquetado" de los objetos. Considere el acto de la traducción de los números de inglés a español. Adición de números no deben depender de que el lenguaje de la que estamos hablando, en el sentido de que desde "dos" corresponde a dos, y "tres" corresponde a tres, debemos esperar "cinco" (que es "dos", además de "tres") a corrrespond a cualquiera de las dos *mas* tres (es decir, cinco) corresponde. Las propiedades que los números y la suma de los números tienen no dependen de lo que nos llame a los números, sino en las propiedades de los números. Así, los números-bajo-además es "esencialmente el mismo, excepto por los nombres que usamos" como números-bajo-suma. Un isomorfismo es la forma de decir que la única diferencia entre los dos objetos, en cuanto a la singular estructura que estamos interesados es en cuestión son los "nombres" que le damos a los objetos y las operaciones.
Su ejemplo se trata con una muy específico de la construcción de la $\mathbb{Z}$ en términos de $\mathbb{N}$. La identificación es, de hecho, una identificación que lleva un montón de propiedades; es un bijection que respeta (i); (ii) la adición; (iii) la multiplicación; y (iv) cualquier operación derivada de estos. Hay otras maneras de definir el $\mathbb{Z}$ que hacer incluir $\mathbb{N}$ como un subconjunto. El punto de la isomorfismo es que no importa cómo construimos $\mathbb{Z}$ y de cómo construimos $\mathbb{N}$, al final tenemos un conjunto con ciertas propiedades, sentado dentro de otro conjunto que tiene más propiedades, y estas propiedades se mantienen independientemente de cómo hemos construido estos objetos.
Corrección: no es muy correcto que "homomorphism es el mismo como isomorfismo, pero no necesariamente un bijection". Por ejemplo, en el caso de "el fin de homomorphism", la única condición requiere que el $a\leq b\implies f(a)\preceq f(b)$, y el recíproco no es necesario (aunque lo contrario es necesario para isomorphisms). Es un poco mejor decir que un isomorfismo de conjuntos parcialmente ordenados es un homomorphism que tiene una inversa que es también un homomorphism; esto le da la bicondicional como consecuencia, en lugar de como una premisa, y es que hace encajar en el esquema general mejor. (Hacemos lo mismo con espacios topológicos, donde el concepto de isomorfismo es que de homeomorphism, que es un mapa continuo que tiene una inversa, y a la inversa también es continua. La definición de las obras en el contexto de grupos, anillos, semigroups, campos, etc., pero resulta que en esos casos, al ser una bijective homomorphism es suficiente para garantizar que el conjunto de la teoría de la inversa es también un homomorphism.)
En cuanto a homomorphisms vs isomorphisms: Hay una muy fructífera la filosofía que es la que se asigna entre los objetos son más importantes que los objetos. Si usted mira espacios vectoriales, puedes mirar en determinados espacios vectoriales y un montón de cosas bonitas, pero espacios vectoriales de verdad no entran en sus propios (en términos de poder, aplicabilidad, utilidad, etc) hasta que introducir transformaciones lineales (que son homomorphisms de espacios vectoriales). Los grupos son omnipresentes, pero es homomorphisms entre los grupos (que permiten considerar las representaciones, las acciones del grupo, y muchas otras cosas) que los hacen impresionantemente útil. Los números reales, como un espacio métrico, es muy bonito; pero es funciones continuas (homomorphisms de métrica espacios/espacios topológicos), que son la piedra angular de su aplicabilidad a la física y a otros contextos. Homomorphism son "funciones" que juega muy bien con la estructura que nos interesa." Las funciones son muy útiles, la estructura puede ser muy útil, y homomorphisms es una manera de obtener lo mejor de ambos mundos: funciones y estructura.
Homomorphisms son más poderosos que simplemente isomorphisms porque isomorphisms realmente no nos vamos a "cambiar" la estructura, sólo vamos a cambiar los nombres que le damos a los objetos en la estructura. Es homomorphisms que verdaderamente nos permiten cambiar los contextos. Si sólo se permite continuo bijections de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$continuo con los inversos (lo que es un isomorfismo de espacios métricos es), usted obtendrá un montón de cosas interesantes, pero en ninguna parte cerca de lo que usted consigue cuando usted se permite considerar todas las funciones continuas.
Esta filosofía (concentrado en los mapas entre los objetos, no en los objetos mismos) está en la base de la Categoría de la Teoría (como Pete Clark menciona en los comentarios), y de la moderna toma en muchos temas.
Añadido. Como Jackson Walters puntos, yo lo he minimizado la importancia de isomorphisms arriba. Uno de los problemas fundamentales en casi cada área de la matemática es "Cuando son dos objetos que se pueden buscar diferentes en realidad el mismo?" Esto usualmente se expresa en términos de un "problema de clasificación," y generalmente se reduce a preguntar si hay una manera fácil de saber si existe un isomorfismo entre dos objetos sin tener que evaluar de forma explícita para uno, o si existe algún "manejable" lista completa de todos los objetos de interés de hasta el isomorfismo. Ejemplos de los primeros son el teorema que dice que dos espacios vectoriales sobre el mismo campo son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión. Ejemplos de esto último son el "Teorema Fundamental de Finitely Generado Abelian Grupos" (que indica que cada finitely generado abelian grupo es isomorfo a uno con una particular y agradable de la estructura), y en menor medida la clasificación de los finitos simples grupos (lo cual nos indica que hay algunas familias, además de una lista limitada que contiene todos los finitos simples grupos). Isomorphisms son importantes, especialmente como una forma de simplificar el estudio de los objetos por ayudarnos a mirar lo que las cosas "son" en lugar de lo que parece.
