Comparación de variables de Poisson

Question

Que $X$ $Y$ ser dos variables de Poisson con media diferentes.

Hay una manera mejor (como en la más concisa o numéricamente más rápida) para calcular $P(X\leq Y)$ que el uso

$$ P(X\leq Y) = \sum_{y=0}^\infty P(Y=y) P(X\leq y) $$

Answer 1

OK, esta es la forma en que lo he hecho por ahora. Es muy probable que esta no es la mejor manera de hacerlo, pero me decidí a publicarlo, para la diversión de ella. Probablemente hay algunos errores, así que adelante y punto.

En primer lugar, por el bien de la claridad, voy a plantear $X \sim Poiss(\lambda)$$Y \sim Poiss(\mu)$. En particular, esto significa que

$$ \mathbb{P}(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \; .$$

A continuación, observe que

$$ \frac{d}{d\lambda} \mathbb{P}(X=k) = \mathbb{P}(X=k-1) - \mathbb{P}(X=k) $$

con el caso especial

$$ \frac{d}{d\lambda} \mathbb{P}(X=0) = - \mathbb{P}(X=0) \; . $$

Esto implica que

$$ \frac{d}{d\lambda} \mathbb{P}(X \leq y) = - \mathbb{P}(X=y) $$

haciendo un resumen de nuestra primera identidad a través de $k$$0$$y$.

Ahora, diferenciando el buscado después de la probabilidad con respecto a $\lambda$ nos da

$$ \frac{d}{d\lambda}\mathbb{P}(X\leq Y) = - \sum_{y=0}^{\infty} \mathbb{P}(X=y)\mathbb{P}(Y=y) $$

La suma en el lado derecho se puede expresar como

$$ - \sum_{y=0}^{\infty} \mathbb{P}(X=y)\mathbb{P}(Y=y) = - e^{-(\lambda + \mu)} \sum_{y=0}^{\infty} \frac{\lambda^y \mu^y}{(y!)^2} \; . $$

La última parte se pueden volver a señalar que la función Bessel modificada $I_0(x)$ tiene la siguiente expansión de Taylor alrededor de $0$

$$I_0(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x/2)^{2n}}{(n!)^2} \; .$$

Obtenemos entonces

$$ \frac{d}{d\lambda}\mathbb{P}(X\leq Y) = - e^{-(\lambda + \mu)} I_0(2 \sqrt{\lambda \mu})$$

Ahora, la integración de este obtenemos la siguiente expresión

$$ \mathbb{P}(X\leq Y) - \mathbb{P}(0\leq Y)= - \int_0^{\lambda} e^{-(t + \mu)} I_0(2 \sqrt{t \mu}) dt $$

o

$$ \mathbb{P}(X\leq Y) = 1 - e^{-\mu}\int_0^{\lambda} e^{-t} I_0(2 \sqrt{\mu t}) dt \; . $$

Esta integral se debe, en principio, numéricamente más manejable que el de la suma anterior, siempre se han modificado las funciones de Bessel implementado en el programa que está utilizando para resolver esto.

Answer 2

Rasholnikov ha mostrado un método utilizando una versión modificada de funciones de Bessel. También se puede conseguir ese tipo de resultado de un Skellam de distribución, que es la diferencia entre las dos distribuciones de Poisson.

Si desea una rápida y simple aproximación para $X \sim \text{Poiss}(\lambda)$ $Y \sim \text{Poiss}(\mu)$

$$\text{Pr}(X \leq Y) \approx \Phi\left( \frac{1/2 - (\lambda - \mu )}{\sqrt{\lambda + \mu}} \right)$$

donde $\Phi()$ es la función de distribución acumulativa de una distribución normal estándar. El $1/2$ hay como una continuidad de ajuste para hacer frente a la posibilidad de que $X=Y$.

Por ejemplo, con $\lambda =5$$\mu =10$, el verdadero resultado es acerca de 0.9256 mientras que la aproximación da 0.9222.