Acabo de empezar a leer el ABC de la categoría de teoría utilizando el apéndice de un texto, el primer capítulo de un texto que nunca lo he leído, y por encima de todo (me enteré ahora que manejar bien la teoría) de las páginas de wikipedia. Quiero saber sólo esto: en las tres fuentes son dada la definición de la categoría, y en los tres me di cuenta de que no es posible tratar a las categorías de la teoría de conjuntos. La razón salta a la vista inmediatamente cuando se supone que los objetos que están contenidos en las clases, en particular el ejemplo de la categoría de conjuntos. Pregunto entonces cómo se trata la teoría, porque de lo que estoy leyendo no entiendo (de hecho, en el segundo origen parece que se desarrolla internamente a la teoría de conjuntos). Yo creo que necesita algunos extensión de la teoría de conjuntos para el tratamiento de ellos.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sugiero leer (al menos una parte de) los siguientes papel bonito:
http://arxiv.org/pdf/0810.1279v2.pdf
Desde el resumen: "Preguntas de conjunto teórico tamaño juegan un papel esencial en la categoría la teoría, especialmente la distinción entre conjuntos y adecuada clases (o pequeños conjuntos de y los grandes conjuntos). Hay muchas maneras diferentes para formalizar esto, y que la elección puede tener efectos notables sobre lo categórico de construcciones son permisibles. En este expositiva de papel resumir y comparar una serie de "conjunto de la teoría de bases de la categoría de la teoría", y describir sus implicaciones para el uso cotidiano de la categoría de la teoría"
Espero que esto ayude.
La respuesta a tu pregunta en la Categoría "teoría de la $\subset$ teoría de conjuntos, o viceversa?" ha sido dada en el comentario a tu pregunta de Asaf Karagila.
La relación entre la categoría de la teoría y de la teoría de conjuntos es más compleja. Supongo que por la teoría de conjuntos que significa ZFC. En este contexto, se puede definir cuáles son las categorías, functors y natural de las transformaciones y desarrollar la mayor parte de la teoría básica. Los problemas surgen cuando se quiere lidiar con el enorme categorías tales como $\mathbf{Set}$ (la categoría de todos los pequeños conjunto y la función entre el conjunto), que claramente no pueden ser definidos en ZFC. De todos modos hay algún truco para solucionar este problema similar a los utilizados en ZFC para hablar de la clase de todos los ordinales o la clase de todos: la idea es introducir algunos simbólico abreviaturas a la amenaza formalmente conjuntos y funciones como la formación de una categoría. Por ejemplo, puede introducir un predicado $x \in \mathcal {Ob}(\mathbf{Set})$ equivalente a $x=x$ un predicado $f \in \mathcal {Ar}(\mathbf{Set})$ como simbólico abreviatura de $\exists a,b \ f \colon a \to b$, y lo mismo para la composición y las identidades. De esta manera, se han presentado formalmente la estructura de la categoría entre sus conjuntos y con otros similares truco construido la mayoría de (si no todos, yo no estoy tan seguro), la teoría de las categorías en ZFC.
Por supuesto, para la simplicidad y tener más control también es posible considerar otras teorías como NBG o Tarski-Grothendieck que resolver los problemas de tamaño de imponer la restricción de que el objeto y la flecha conjuntos de categorías debe pertenecer a algunos de los conjuntos especiales (llamados universos), que se cierran en algunas operaciones (powerset, vinculación, unión, etcetcetc, en el que es posible modelo de ZFC).
Sobre el título de la pregunta: es cierto que la categoría de la teoría puede ser desarrollado internamente a un conjunto de la teoría, de cualquier manera el recíproco es cierto debido a que los juegos pueden ser naturalmente visto como categorías discretas, este punto de vista parece ser importante en un contexto de tipo de teoría en la que los conjuntos no están desestructuradas objetos, pero son tipos que tienen las relaciones de equivalencia, la identidad, la cual es representada por la categoría/groupoid estructura de categorías discretas.
Espero que esta ayuda.
Las categorías de la teoría y de la teoría de conjuntos puede ser visto como formal de las teorías en el sentido general de la lógica matemática. Es bien sabido que la categoría de la teoría puede ser desarrollado dentro de la teoría de conjuntos (quizás también de Grothendieck del axioma de universos). Pero Lawvere también ha demostrado lo contrario, a través de la ETCS. Más generalmente, uno puede citar Grothendieck del topos de la teoría, que en realidad es un categórico refinamiento de la teoría de conjuntos (que es justo el topos correspondiente a un punto). Así, en somse categoría de sentido de la teoría y de la teoría de conjuntos contienen el uno al otro.
