¿Por qué la serie $\sum_{n=1}^\infty\frac1n$ no convergen?

Question

Alguien puede dar una explicación simple de por qué la serie armónica

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1n=\frac 1 1 + \frac 12 + \frac 13 + \cdots $$

no concurre, por otro lado, crece muy lentamente?

Prefiero fácilmente comprensible explicación en vez de una rigurosa prueba regularmente se encuentran en los libros de texto de pregrado.

Answer 1

Vamos a agrupar los términos de la siguiente manera:

Grupo $1$ : $\displaystyle\frac11\qquad$ ($1$ plazo)

Grupo $2$ : $\displaystyle\frac12+\frac13\qquad$($2$ términos)

Grupo $3$ : $\displaystyle\frac14+\frac15+\frac16+\frac17\qquad$($4$ términos)

Grupo $4$ : $\displaystyle\frac18+\frac19+\cdots+\frac1{15}\qquad$ ($8$ términos)

$\quad\vdots$

En general, el grupo de $n$ contiene $2^{n-1}$ términos. Pero también, observe que el elemento más pequeño en el grupo $n$ es mayor que $\dfrac1{2^n}$. Por ejemplo, todos los elementos en el grupo $2$ son mayores de $\dfrac1{2^2}$. Por lo que la suma de los términos en cada grupo es mayor que $2^{n-1} \cdot \dfrac1{2^n} = \dfrac1{2}$. Ya que hay infinidad de grupos, y la cantidad en cada grupo es mayor que $\dfrac1{2}$, se deduce que el total de la suma es infinita.

Esta prueba a menudo se atribuye a Nicole Oresme.

Answer 2

Hay una fantástica colección de $20$ diferentes pruebas de que esta serie diverge. Te recomiendo leer (se puede encontrar aquí). Me gusta especialmente la prueba de $14$, que apela a triangular los números de una especie de cameo.

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EDITAR

Parece que el enlace original está roto, debido a que el autor de mudarse a su propio sitio. Así que seguí y descubrí que el nuevo enlace. Además, el autor tiene una gran adición, trayendo el número total de pruebas a 42+.

Answer 3

La respuesta dada por el AgCl es un clásico. Y, posiblemente, pedagógicamente mejor; no sé.

También me gusta el siguiente argumento. No estoy seguro de lo que los estudiantes que son nuevos en el tema de pensar en ello.

Supongamos que 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... se suma a algunos finito total S. Ahora el grupo de términos de la siguiente manera:

$$1 + \frac{1}{2} > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Continuando de esta manera, obtenemos $S > S$, una contradicción.

Answer 4

Una alternativa a prueba (traducido y adaptado de este comentario por Filipe Oliveira, en portugués, publicado también aquí). Deje $ f(x)=\ln(1+x)$. A continuación,$f'(x)=\dfrac {1}{1+x}$$ f'(0)=1$. Por lo tanto

$$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-\ln(1)}{x-0}=1,$$

y

$$ \displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac {1}{n}}=1>0.$$

Así, la serie de $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n}$ $\displaystyle\sum\ln\left(1+\dfrac {1}{n}\right)$ son ambas convergentes o divergentes. Desde

$$\ln\left(1+\dfrac {1}{n}\right)=\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)=\ln (n+1)-\ln(n),$$

tenemos

$$\displaystyle\sum_{n=1}^N\ln\left(1+\dfrac {1}{n}\right)=\ln(N+1)-\ln(1)=\ln(N+1).$$

Por lo tanto $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\dfrac {1}{n}\right)$ es divergente y así es $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$.

Answer 5

Esto no es tan buena respuesta como AgCl, sin embargo las personas pueden encontrar que es muy interesante.

Si estás acostumbrado a cálculo, a continuación, es posible que observe que la suma $$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}$$ is very close to the integral from $1$ to $n$ of $\frac{1}{x}$. This definite integral is ln(n), so you should expect $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+ \frac{1}{n}$ to grow like $\ln(n)$.

Aunque este argumento puede ser rigurosa, es todavía insatisfactorio porque depende del hecho de que la derivada de $\ln(x)$$\frac{1}{x}$, que es probablemente la más difícil de lo que la pregunta original. No obstante, pone de manifiesto una buena heurística para determinar rápidamente sumas cómo comportarse en caso de que usted ya sabe de cálculo.