Tallos de gavilla-hom

Question

Que $F$ $G$ ser poleas en $X$. ¿En qué condiciones está el mapa natural del tallo $p$ $SheafHom(F,G)$ $Hom(F_p, G_p)$ un isomorfismo?

Answer 1

Por cierto, he aquí un contraejemplo para la más amplia generalización ("siempre es un isomorfismo"), que he encontrado en internet, en un libro llamado "Invariantes Topológicos Estratificado de los Espacios". Sea X = [0,1] y F ser el rascacielos gavilla Z en 0. Vamos a G la constante de la gavilla de la a a la Z. Si U contiene 0, entonces Hom(F|U,G|U)=0, entonces Hom(F,G)_0 = 0, pero, por supuesto, Hom(Z,Z)=Z.

Lo que sobre coherente O_X módulos sobre un espacio anillado X que no necesita ser un esquema? Decir, un complejo colector? Sólo una curiosidad ociosa...

Answer 2

El resultado en Hartshorne si recuerdo mal sólo utiliza el hecho que afine localmente un haz coherente en un esquema tiene una localmente libre resolución por projectives de rango finito y que uno puede computar los tallos afín localmente. En particular, como señala David en los comentarios sólo listo necesitamos los dos primeros pasos que uno puede utilizar las propiedades de la exactitud de Hom/SheafHom.

Así que la condición correcta en F como en los comentarios es que finito sea presentada.

Answer 3

Es verdadera cuando X es un local noetheriano, F es un haz coherente y G es cualquier módulo O_X. Este es el capítulo III, geometría de Proposición 6.8 de Hartshorne algebraica, así que espero que no solo te estoy diciendo algo que sabía.