Conjunto de normas de matriz

Question

Necesito ayuda con este problema:

Deje $\|\cdot\|$ $\|\cdot\|^{\prime}$ dos de la matriz de normas, y considerar la relación $$\|\cdot\| \leq \|\cdot\|^{\prime}\ \Leftrightarrow\ \|A\| \leq \|A\|^{\prime},$$ que proporciona un orden parcial del conjunto $\mathcal{N}$ de la matriz de normas definidas sobre el ring $M_n$.

1. Si $\|\cdot\|$ $\|\cdot\|^{\prime}$ de la matriz son normas subordinadas a la del vector normas $|\cdot|$$|\cdot|^{\prime}$, respectivamente, y si $\|A\| \leq \|A\|^{\prime}$ para todas las matrices $A\in M_n$ de rango 1, muestran que existe una constante $c$ tal que $$|v|\ =\ c|v|^{\prime},\;\; \mbox{for every vector }v.$$
2. Demostrar que si una matriz norma está subordinada a dos vectores normas $|\cdot|$$|\cdot|^{\prime}$, $|v|\ =\ c|v|^{\prime},\;\; \mbox{for every vector }v.$

Alguien sabe cómo solucionarlo? Gracias de antemano

Answer 1

Desde afirmación 2 es un corolario inmediato de la afirmación 1, es suficiente para demostrar la afirmación 1.

Denotar el espacio lineal $\mathbb{R}^n$$V$, y denotan su doble por $V^*$, es decir, $$V^*:=\{f:V\to\mathbb{R}\mid f\text{ is linear }\}.$$ Dado cualquier norma $|\cdot|$$V$, lo que induce una norma en $V$, todavía se denota por a $|\cdot|$, de la siguiente manera: $$|f|:=\sup_{v\V\setminus\{0\}}\frac{|f(v)|}{|v|}=\sup_{v \en V,|v|=1}|f(v)|,\quad\forall f\V^*.\la etiqueta{1}$$ Ahora, dado un vector distinto de cero $v\in V$ y un valor distinto de cero la función lineal $f\in V^*$, podemos definir $$A: V\to V,\quad w\mapsto f(w)\cdot v.\tag{2}$$ A continuación, para la norma $\|A\|$ inducida por $|\cdot|$, tenemos: $$\|\|=\Sup_{w \en V,|w|=1}|(w)|=|v|\cdot\sup_{w \en V,|w|=1}|f(w)|=|v|\cdot |f|.\la etiqueta{3}$$ Del mismo modo, para la norma $|\cdot|'$, podemos definir a la $|f|'$ $(1)$ y, por tanto, para $\|A\|'$ inducida por $|\cdot|'$, tenemos: $$\|A\|'=|v|'\cdot |f|'.\tag{4}$$ Tenga en cuenta que por $(2)$, el rango de $A$$1$, por lo que desde la asunción en la afirmación 1, sabemos que $\|A\|\le \|A\|'$. De $(3)$ y (4) se deduce que $$|v|\cdot |f|\le |v|'\cdot |f|',\quad \forall v\in V\setminus\{0\}, \forall f\in V^*\setminus\{0\},$$ es decir, $$c:=\sup_{v\in V\setminus\{0\}}\frac{|v|}{|v|'}\le\inf_{f\in V^*\setminus\{0\}}\frac{|f|'}{|f|}:=c'.\tag{5}$$ Sin embargo, desde la $V$ es finito dimensional, para cada $v\in V\setminus\{0\}$, existe $f_v\in V^*\setminus\{0\}$, de tal manera que $$|v|'\cdot|f_v|'=|f_v(v)|\le |v|\cdot |f_v|,$$

es decir, $$c\ge \frac{|v|}{|v|'}\ge\frac{|f_v|'}{|f_v|}\ge c'.\tag{6}$$ La conclusión se deduce de$(5)$$(6)$.