Es fácil demostrar la no separabilidad de BC ([0, $\infty$)) y la separación de C([0,1]). Me parece que podemos discutir el hecho de que cualquiera limitada función continua de BC ([0, $\infty$)) debe también estar en BC([0,1)) de alguna manera Mostrar BC([0,1)) no es separable, pero BC([0,1)
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El espacio de $BC([0,1))$ es no separable. Para el comienzo de considerar la función de $$ \varphi(x)=\max(1-|2x|,0) $$ A continuación, para cada secuencia binaria $s\in\{0,1\}^\mathbb{N}$ definimos la función $$ g_s(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty s(k)\varphi\left(x-\frac{k}{2}\right) $$ Este es incontable de familia en $BC([0,+\infty))$. Por otra parte, si $s'\neq s''$,$\Vert g_{s'}-g_{s''}\Vert_\infty=1$. Ahora considere las funciones $$ f_s(x)=g_s\left(\frac{1}{1-x}\right) \quad s\in\{0,1\}^\mathbb{N} $$ Es fácil ver que $\{f_s:s\in\{0,1\}^\mathbb{N}\}$ es incontable subconjunto de $BC([0,1))$ e si $s'\neq s''$,$\Vert f_{s'}-f_{s''}\Vert_\infty=1$. Esto es imposible si $BC([0,1))$ separables, por lo $BC([0,1))$ es no separable.
DiGi
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1925
$BC([0,1))$ es no un subconjunto de a $BC([0,\infty))$; de hecho, estos dos conjuntos de funciones son disjuntas. Ninguna función cuyo dominio es $[0,1)$ $[0,\infty)$ como su dominio, y ninguna función cuyo dominio es $[0,\infty)$ $[0,1)$ sus dominios. Lo que es cierto es que $$\{f\upharpoonright[0,1):f\in BC([0,\infty))\}\subseteq BC([0,1))\;.$$
Hay, sin embargo, una relación muy estrecha entre la $BC([0,\infty))$$BC([0,1))$, debido al hecho de que $[0,\infty)$ $[0,1)$ son homeomórficos. Una explícita homeomorphism es $$h:[0,\infty)\to[0,1):x\mapsto \frac2\pi\arctan x\;.$$ This implies that $BC([0,1))$ and $BC([0,\infty))$ are actually homeomorphic, via the map $$H:BC([0,1))\to BC([0,\infty)):f\mapsto f\circ h\;,$$ as is quite easily checked. Thus, one of $BC([0,\infty))$ and $AC([0,1))$ es separable si el otro es.
