Factorice $3m^4-6m^3+14m^2-6m+11$

Question

Tengo esta expresión: $3m^4-6m^3+14m^2-6m+11=0$ y quiero factorizarlo en $(m^2+1)(3m^2-6m+11)$ . ¿Cómo puedo hacerlo? ¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Sugerencia $\ $ Porque los coeficientes principales y constantes son primos los factores posibles están muy restringidos, por lo que podemos encontrar rápidamente factores cuadráticos por coeficientes indeterminados. En primer lugar, observe $\rm\:mod\ 3\!:\ -f \equiv x^2+1,\:$ así que buscamos un factor de forma $\rm\: x^2\! +\, 3a\, x + 1.\:$ Su cofactor debe tener coeficiente principal $3$ y coeficiente constante $11$ es decir

$$\rm\begin{eqnarray} (x^2+3a\,x+1)(3\,x^2\!+b\,x+11) &\,=\:&\rm 3\,x^4 + (b\!+\!9a)\, x^3 + (14\!+\!3ab)\, x^2 + (b\!+\!33a)\,x + 11 \\ &=&\rm 3\, x^2 - 6\, x^3 + 14\, x^2 - 6\,x + 11\end{eqnarray}$$

Comparación de $\rm\:x^2$ condiciones, $\rm\:14=14\!+\!3ab\Rightarrow ab=0\:$ así que $\rm\,a=0\,$ o $\rm\,b=0.\:$ Si $\rm\:b=0\:$ entonces comparando $\rm\,x^3$ condiciones, $\rm\:9a=-6,\,$ contra $\rm\:a\in \Bbb Z.\:$ Así $\rm\:a=0.\:$ Comparación de $\rm\,x^3$ condiciones, $\rm\:b = -6,\:$ que funciona.

Answer 2

$3m^4-6m^3+14m^2-6m+11$

$=3m^4-6m^3+11m^2+3m^2-6m+11$

$=m^2(3m^2-6m+11)+(3m^2-6m+11)$

$=(m^2+1)(3m^2-6m+11)$

Answer 3

Sea $f$ sea el polinomio. Si conoces los números complejos, puedes calcular $f(i) = 0$ mostrándole que $f$ es divisible por $(m - i)$ . Como los coeficientes son reales, también $-i$ es una raíz, por lo que $f$ es divisible por $(m + i)$ También. Por lo tanto $f$ es divisible por $(m - i)(m + i) = m^2 + 1$ . La división larga polinómica te da ahora la factorización.

EDIT: ¿Cómo ves $f(i) = 0$ ? Si $f = \sum_{i=0}^d a_i X^i$ con coeficientes reales $a_i$ es bastante fácil de comprobar: $f(i) = 0$ si y sólo si las dos sumas alternas $$a_0 - a_2 + a_4 - a_6 \pm \ldots\quad\text{and}\quad a_1 - a_3 + a_5 - a_7 \pm \ldots$$ ambos iguales a cero. En este ejemplo, $11-14 + 3 = 0$ y $(-6)-(-6) = 0$ Así que $f(i) = 0$ .

Answer 4

Ya has factorizado el $3m^4 −6m^3 +14m^2 −6m+11$ con $(m^2 +1)(3m^2 −6m+11)$ .
El primer factor es igual a $(m^2 +1)$ y segundo $(3m^2 −6m+11)$ . $(m^2 +1)(3m^2 −6m+11) = 3m^4-6m^3+11m^2+3m^2-6m+11 = 3m^4-6m^3+14m^2+11$

Nota:
Pero si necesita resolver $3m^4 −6m^3 +14m^2 −6m+11 = 0$ utilizando la factorización $(m^2 +1)(3m^2 −6m+11)$ es un problema un poco diferente.
$(m^2 +1)(3m^2 −6m+11) = 0$ es verdadero si 1.: $m^2 +1 = 0$ o 2.: $3m^2 −6m+11=0$ .
1. $m^2 +1 = 0$ => $m_{1,2} = \pm\sqrt{-1} = \pm{i}$
2. $3m^2 −6m+11=0$ => $m_{3,4} = 1\pm{2}i\sqrt{\frac{2}{3}}$

He aquí cuatro soluciones:
1. $m = i$ : $3i^4-6i^3+14i^2-6i+11 = 3+6i+14-6i+11 = 0$
2. $m = -i$ : $3(-i)^4-6(-i)^3+14(-i)^2-6(-i)+11$
$ = 3(-1)^4i^4-6(-1)^3i^3+14(-1)^2i^2-6(-i)+13 = 3 -6i-14+6i+13 = 0$
3. $m = 1+{2}i\sqrt{\frac{2}{3}}$ sustituye a la ecuación como en 1. o 2.
4. $m = 1-{2}i\sqrt{\frac{2}{3}}$ sustituye a la ecuación como en 1. o 2.