Sé cómo calcular un determinante, pero quería saber cuál es el significado de un determinante. ¿Cómo podría explicarle a un niño lo que es un determinante?
¿Podría considerarlo como una medida de independencia de las columnas o filas? ¿O hay otra interpretación aún más sencilla?
Editar: La explicación debería explicar también, el papel del determinante para la resolubilidad de las ecuaciones lineales.
El determinante es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores.
Wikipedia es más preciso:
Los determinantes expresan la firma $n$ -volúmenes dimensionales de $n$ -paralelepípedos de dimensiones.
El determinante es cero si los vectores son linealmente dependientes. En este sentido, es una medida gruesa de la independencia de los vectores.
La medida más fina de independencia de las columnas o filas es el rango .
Un sistema de ecuaciones lineales $Ax=b$ es solucionable si $rank(A)=rank(A\mid b)$ , donde $A\mid b$ es el matriz aumentada .
Los determinantes aparecen en la solución real de los sistemas de ecuaciones lineales a través de La regla de Cramer (pero esto es principalmente un resultado teórico importante, porque no es práctico, excepto para sistemas muy pequeños).
Añadiendo a la respuesta de lhf, puedes pensar en el significado "geométrico" de esta interpretación del volumen: piensa en cómo $A$ actúa sobre el espacio vectorial $V$ .
El volumen del paralelepípedo está relacionado con esta interpretación, ya que el paralelepípedo es la imagen bajo $A$ del cubo unitario. En otras palabras, el paralelepípedo es un modelo a pequeña escala de cómo $A$ actúa sobre el conjunto de $V$ (¡por la linealidad!).
Cuando el volumen es $0$ significa que se han perdido una o más dimensiones en la transfomación (el "área" de una línea o el "volumen tridimensional" de un plano son ambos cero). Esto significa que, para $Ax = b$ , algunos vectores $b$ - los que tienen un componente en las "dimensiones perdidas" - no serán alcanzables en absoluto, mientras que cualquier otro admitirá múltiples soluciones (porque añadiendo a $x$ algunos $u$ que se encuentra en aquellas dimensiones que son descartadas por $A$ no cambia el resultado).
Creo que la respuesta de @lhf es la mejor explicación intuitiva.
En respuesta a su edición: un sistema de $n$ ecuaciones lineales en $n$ incógnitas tendrá siempre una solución única si y sólo si el determinante no es $0$ porque esa es la condición que dice que el rango es $n$ por lo que el mapa lineal correspondiente es uno a uno y sobre. Pero en la práctica no se utilizan los determinantes para resolver las ecuaciones, aunque a los alumnos les parece genial, La regla de Cramer es realmente sólo de interés teórico. La eliminación gaussiana (y los métodos numéricos más avanzados) hacen mejor el trabajo y dan más información, incluso cuando el determinante es $0$ la ecuación tendrá a veces soluciones, y cuando las tenga no serán únicas.
La intuición que he mantenido una vez que la descubrí es la siguiente. Sea $f(x) = Ax$ sea una transformación lineal donde $A$ es un $n \times n$ matriz. Entonces el determinante $|A|$ es el factor de escala de volumen de la transformación $f$ . Es decir, si $S$ es un conjunto en $n$ -espacio que tiene volumen $V$ entonces $f(S)$ es un conjunto en $n$ -espacio que tiene volumen $V \cdot |A|$ .
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A menos que el niño ya esté interesado en los determinantes, no hay razón para explicárselos.
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@GEdgar, (+1) ¡qué gran respuesta! Me ha encantado :))