Demostrar

Question

Haciendo un poco de modelización matemática de las órbitas planetarias he venido para arriba con dos integrales definidas $D_1$ $D_2$ que aparecen para producir el mismo resultado cuando lo pruebe (utilizando www.WolframAlpha.com) para los distintos valores de $a$ donde $0<a<1$. $$ D_1 \, =\, \int_0^{2\pi}f_1\,\mathrm{d}\theta \, =\, \int_0^{2\pi}\frac{3a\sin^2\theta}{(1-\cos \theta)^4}\mathrm{d}\theta \,=\, \frac{3a\pi}{(1-a^2)^{5/2}} \, =\,R $$ y $$ D_2 \, =\, \int_0^{2\pi}f_2\,\mathrm{d}\theta \, =\, \int_0^{2\pi}\frac{\cos \theta}{(1-\cos \theta)^3}\,\mathrm{d}\theta \, =\, \frac{3a\pi}{(1-a^2)^{5/2}} \, =\,R $$

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Cómo puedo ir, se trata de probar:-

(1) $D_1$ = $D_2$,

(SOLUCIONADO, creo yo, por mis dos respuestas más abajo, pero el uso de WolframAlpha para obtener soluciones integrales) $$$$

(2) $D_1$ = $R$ o $D_2$ = $R$.

(TRASLADADO a una pregunta aparte: Demostrar $\int_0^{2\pi}\frac{3a\sin^2\theta}{(1-a\cos \theta)^4}$ o $\int_0^{2\pi}\frac{\cos\theta}{(1-a\cos\theta)^3}=\frac{3a\pi}{(1-a^2)^{5/2}}$).

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ACTUALIZACIÓN 1

Usted puede ver cómo WolframAlpha produce estos resultados mediante la introducción de los siguientes textos:-

Para Eqtn 1 con a=0.1 entrada: integrar (3*0.1(sinx)^2)/((1-0.1*cosx)^4) desde x=0 a 2*pi

Para Eqtn 2 con a=0.1 entrada: integrar (cosx)/((1-0.1*cosx)^3) desde x=0 a 2*pi

para el Resultado con a=0.1 entrada: evaluar 3 0.1 pi/(1-0.1^2)^(5/2)

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ACTUALIZACIÓN 2

WolframAlpha también calcula las expresiones para la indefinida integrales como sigue:- $$I_1 \, =\, \int\frac{3a\sin^2\theta}{(1-\cos \theta)^4}\mathrm{d}\theta \,=\, $$ $$constant1 + \frac {un\,\sqrt{a^2-1}\sin\theta\,[-(2a^3+a)\cos^2\theta+3(a^2+1)cos\theta+a(2a^2-5)]} {2(a^2-1)^{5/2} (\cos\theta-1)^3} $$

$$-\frac {6a\, (\cos\theta-1)^3\,\tanh^-1 \left( \frac{(a+1)\tan(\theta/2)}{\sqrt{a^2-1}} \right) } {(2(una^2-1)^{5/2}\,(a\cos\theta-1)^3} $$ $$$$ $$$$

$$I_2 \, =\, \int\frac{\cos \theta}{(1-\cos \theta)^3}\,\mathrm{d}\theta \, =\, $$ $$constant2 - \frac {2a^2\sin\theta-sin\theta} {2(a^2-1)^2(a\cos\theta-1)} -\frac {\sin\theta} {2(a^2-1)(a\cos\theta-1)^2} $$

$$ -\frac {3a\tanh^-1\left(\frac{(a+1)\tan(\theta/2)}{\sqrt{a^2-1}}\right)} {(a^2-1)^{5/2}} $$ Tenga en cuenta que las condiciones finales de cada una de las expresiones son equivalentes entre sí. Esto podría ser útil. Por ejemplo podemos definir una diferencia de función $f_3 = f_1-f_2$ cuyo integral indefinida $I_3 = I_1-I_2$ excluirá el común torpe tercer término.

Supongamos que $f_3$ es de forma continua integrable sobre el intervalo de $0,2\pi$ (no podemos estar seguro de que por simple inspección, pero se puede demostrar, véase mi respuesta a continuación). Entonces, si $D_1=D_2$ en el rango $0,2\pi$$D_1-D_2=0$, por lo que $D_3$ (=$\int_0^{2\pi}f_3\,d\theta$) debe tener el valor cero. Esto se expanden en mi respuesta a continuación.

Answer 1

Sugerencia:

Observar que,

$$\frac{\partial}{\partial a}\left[\frac{1}{\left(1-a\cos{\theta}\right)^2}\right]=\frac{2\cos{\theta}}{\left(1-a\cos{\theta}\right)^3}.$$

Por lo tanto, podemos simplificar la integral que tenemos que calcular mediante la técnica de diferenciación bajo el signo integral:

$$\begin{align} I(a) &=\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos{\theta}}{\left(1-a\cos{\theta}\right)^3}\,\mathrm{d}\theta\\ &=\frac12\int_{0}^{2\pi}\frac{\partial}{\partial a}\left[\frac{1}{\left(1-a\cos{\theta}\right)^2}\right]\,\mathrm{d}\theta\\ &=\frac12\frac{\partial}{\partial a}\int_{0}^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\theta}{\left(1-a\cos{\theta}\right)^2}.\\ \end {Alinee el} $$

Answer 2

MÉTODO

Considerar si la Diferencia de la Función de $\,f_3=f_1-f_2$ integra a cero en el intervalo de $0,2\pi$. Si lo hace, a continuación,$D_1 = D_2$.

RESUMEN

La diferencia de la función de integrar a cero en el intervalo dado. Por lo tanto, las dos integrales definidas $D_1$ $D_2$ son iguales.

DETALLE

Tratemos de probar la hipótesis de que las dos expresiones de la integral definida $D_1$, $D_2$ son iguales para todos los valores de $a$ (donde $0<a<1$), es decir, $$ D_1= \int_0^{2\pi}\frac{3a\sin^2\theta}{(1-\cos \theta)^4} d\theta =\int_0^{2\pi}\frac{(1-\cos\theta)\cos \theta}{(1-\cos \theta)^4}d\theta =D_2 $$

Vamos a definir las funciones de $f_1$, $f_2$ y sus respectivos indefinido integrales $I_1$ $I_2$ tal que $$ I_1(a,\theta) = \int f_1(a,\theta) \, \mathrm{d}\theta =\int\frac{3a\sin^2\theta}{(1-\cos \theta)^4} d\theta $$ y $$I_2(a,\theta) = \int f_2(a,\theta) \, \mathrm{d}\theta =\int\frac{(1-\cos\theta)\cos \theta}{(1-\cos \theta)^4}d\theta $$

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WolframAlpha nos da para las integrales indefinidas $I_1$ $I_2$ $$I_1(a,\theta) \, =\, \int\frac{3a\sin^2\theta}{(1-\cos \theta)^4}\mathrm{d}\theta \,=\, $$ $$constant1 + \frac {un\,\sqrt{a^2-1}\sin\theta\,[-(2a^3+a)\cos^2\theta+3(a^2+1)cos\theta+a(2a^2-5)]} {2(a^2-1)^{5/2} (\cos\theta-1)^3} $$

$$-\frac {6a\, (\cos\theta-1)^3\,\tanh^-1 \left( \frac{(a+1)\tan(\theta/2)}{\sqrt{a^2-1}} \right) } {(2(una^2-1)^{5/2}\,(a\cos\theta-1)^3} $$ y $$I_2(a,\theta) \, =\, \int\frac{\cos \theta}{(1-\cos \theta)^3}\,\mathrm{d}\theta \, =\, $$ $$constant2 - \frac {2a^2\sin\theta-sin\theta} {2(a^2-1)^2(a\cos\theta-1)} -\frac {\sin\theta} {2(a^2-1)(a\cos\theta-1)^2} $$

$$ -\frac {3a\tanh^-1\left(\frac{(a+1)\tan(\theta/2)}{\sqrt{a^2-1}}\right)} {(a^2-1)^{5/2}} $$

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Si las funciones de $I_1$ $I_2$ eran continuas en el intervalo de $0,2\pi$ simplemente se podría probar si la siguiente afirmación es verdadera: $$I_1(a,2\pi) - I_1(a,0) = I_2(a,2\pi) - I_2(a,0)$$ Sin embargo, las funciones de $I_1$ $I_2$ no son continuas en el intervalo de $0,2\pi$. Esto es debido a la incorporación, en ambas funciones, de la torpe implican $\tanh^1()$$\tan(\theta/2)$, lo que produce una singularidad al $\theta/2 = \pi/2$.

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Como un enfoque alternativo nos vamos a obtener la función de $I_3$ que es la integral indefinida de la Diferencia de la Función de $f_3$ definido por $$f3(a,\theta) =f1(a,\theta)-f2(a,\theta)$$

Como se mencionó en la Pregunta ( Actualización 2 ) la resta de $I_2$ $I_1$ eliminará de $I_3$ el torpe término final en $\tanh^-1()$ que es común a $I_1$$I_2$. Presumiblemente, entonces, aunque yo no lo he probado, podemos encontrar una expresión simple para $I_3$ por algebraicas racionalización de $I_1 - I_2$.

Convenientemente sin embargo, cuando se les da la fórmula para $I_3$, WolframAlpha devuelve un simple resultado así

$$I_3(a,\theta) = \int\frac{3a\sin^2\theta \cos \theta(de 1 a \cos\theta)} {(1-\cos \theta)^4} d\theta =\frac{sin\theta} {(\cos\theta-1)^3}+ constant3 $$

Ahora, para demostrar que $D_1=D_2$ simplemente necesitamos mostrar que $D_3=0$. Esto se puede hacer demostrando que $I_3(a,2\pi)-I_3(a,0) = 0$.

Sabiendo que $\sin(2\pi)=\sin(0)=0$ y $\cos(2\pi)=\cos(0)=1$, es sencillo demostrar que

$$ I_3(a,2\pi)=\frac{sin(2\pi)}{(a\cos(2\pi)-1)^3}+ constant3= 0+ constant3 $$ y $$ I_3(a,0)=\frac{sin(0)}{(a\cos(0)-1)^3}+ constant3= 0+ constant3 $$ Así $$ I_3(a,2\pi)-I_3(a,0) = 0+ constant3 -(0+ constant3) = 0 $$ Por lo tanto, el original de la hipótesis se confirma: $$ \int_0^{2\pi}\frac{3a\sin^2\theta}{(1-\cos \theta)^4} d\theta =\int_0^{2\pi}\frac{(1-\cos\theta)\cos \theta}{(1-\cos \theta)^4}d\theta $$

$$D_1=D_2$$.

Nota: la Parte (2) de la pregunta no es respondida por este.

Answer 3

(como por David H sugerencia use Integración Por Partes)

Hipótesis: Las dos integrales definidas $D_1$ $D_2$ tienen el mismo valor, es decir,$D_1 = D_2$.

Usando integración por partes $$ \int uv' \,d\theta= uv-\int u v \,d\theta $$ vamos a definir $$ u = \frac{1}{(1-\cos\theta)^3} \qquad v' = \cos\theta $$ Así ($u'$ obtenido a partir de WolframAlpha) $$ u'=\frac{-3a\sin\theta}{(1-\cos\theta)^4} \qquad v=\sin\theta $$ Entonces $$ \int\frac{\cos\theta}{(1-\cos\theta)^3}\,d\theta= uv - \int u v\, d\theta $$

$$a=\frac{-\sin\theta}{(1-\cos\theta)^3} -\int \frac{-3a\sin^2\theta}{(1-\cos\theta)^4} $$ Así $$\int\frac{\cos\theta}{(1-\cos\theta)^3}\,d\theta= \frac{-\sin\theta}{(1-\cos\theta)^3} +\int \frac{3a\sin^2\theta}{(1-\cos\theta)^4}\,d\theta. $$ Ahora considere las integrales definidas en el rango de $0,2\pi$

$$\int_0^{2\pi}\frac{\cos\theta}{(1-\cos\theta)^3}\,d\theta= \left[\frac{-\sin\theta}{(1-\cos\theta)^3}\right]_0^{2\pi} +\int_0^{2\pi} \frac{3a\sin^2\theta}{(1-\cos\theta)^4}\,d\theta $$ El término entre corchetes va claramente a cero en el rango de $0,2\pi$ porque $\sin(0)=\sin(2\pi)=0$ y por lo tanto tenemos $D_1=D_2$.