Grupo finito con la propiedad de que todos sus subgrupos propios son abelianos.

Question

Sea $G$ sea un grupo finito con la propiedad de que todos sus subgrupos propios son abelianos. Sea $N$ sea un subgrupo normal de $G$ . Demostrar que $N$ está contenido en el centro de $G$ o bien $G$ tiene un subgrupo abeliano normal de índice primo.

Creo que $G$ tiene solución. http://crazyproject.wordpress.com/2010/06/08/every-finite-group-whose-every-proper-subgroup-is-abelian-is-solvable/ . Espero que esta idea sea útil.

Ayúdame con algunas pistas.

Muchas gracias.

P/s: Esta es una pregunta proviene de un examen de calificación en Álgebra ( Wisconsin Agosto $1979$ )

Answer 1

O se podría argumentar lo siguiente. Supongamos que $N \not \subseteq Z(G)$ . Sea $M$ sea un subgrupo normal maximal de $G$ que contiene $N.$ Entonces $M = C_{G}(N)$ como $M$ es abeliano y $M$ es correcto, pero $N \not \subseteq Z(G).$ Entonces ciertamente $M = C_{G}(M).$ Por lo tanto $M$ es de hecho un subgrupo maximal de $G,$ ya que si $M$ está contenido en otro subgrupo propio $H$ de $G$ normal o no) entonces $H$ es abeliano, por lo que $H \subseteq C_{G}(M) = M$ y $H = M.$ Por lo tanto $G/M$ es un grupo simple (como $M$ es maximal normal) sin subgrupo propio no identitario (como $M$ no está contenido en ningún subgrupo propio de $G$ ). Pero $G/M$ contiene un subgrupo cíclico de orden primo (ni siquiera hace falta el teorema de Cauchy para verlo), por lo que $G/M$ es de hecho cíclico de orden primo.

Answer 2

Así es como yo argumentaría:

• Demuestre que el centralizador de $N$ en $G$ también es normal y contiene $N$ . Así que $N$ está contenido en el centro, o lo sustituimos por su centralizador, que también es un subgrupo abeliano normal propio de $G$ .
• Repitiendo el paso anterior tantas veces como sea necesario se llega a la conclusión de que $N$ está en el centro o que $N$ es su propio centralizador, y también un subgrupo abeliano normal propio de $G$ .
• En este último caso consideremos el homomorfismo $f:G/N\to Aut(N)$ obtenido por acción de la conjugación. Demostrar que tiene que ser inyectiva.
• Si $G/N$ tiene un subgrupo cíclico propio $K/N$ demostrar que $K/N\le \ker f$ .
• Concluir que $G/N$ debe ser cíclico de orden primo.