$\pi$ arbitrarias métrica espacios

Question

Quien encuentre una norma para que $\pi=42$ es coronado nerd del día!

Puede el principio de $\pi$ en el espacio euclidiano ser generalizados a 2 dimensiones métricas/normativa espacios de una manera razonable?

Por Ejemplo, supongamos $(X,||.||)$ ser una de 2 dimensiones normativa espacio vectorial con un inducida por la métrica $d(x,y):=\|x-y\|$. Definir la unidad de círculo $$\mathbb{S}^1 := \{x\in X|\;\|x\|=1\}$$ Y definir el diámetro exterior de un conjunto $A\in X$ $$d(A):=\sup_{x,y\in A}\{d(x,y)\}=\sup_{x,y\in A}\{\|x-y\|\}$$ Ahora elija un Camino continuo $\gamma:[0,1]\rightarrow X$ para que la imagen $\gamma([0,1])=\mathbb{S}^1$. Utilizando la definición estándar de la longitud de un continuo (no necesariamente rectificable) ruta dada por $$ L(\gamma):=\sup\bigg\{\sum_{i=1}^nd(\gamma(t_i),\gamma(t_{i+1}))|n\in\mathbb{N},0\le t_0\lt t_1\lt ... \lt t_n\le 1\bigg\}$$ podemos definir finalmente, $\pi$ $(X;\|.\|)$ por $$\pi_{(X,\|.\|)}:=\frac{L(\gamma)}{d(\mathbb{S}^1)}$$ (Esta es la forma más definidas de la definición anterior (marque las reversiones))

Ejemplos:

• Para la distancia euclídea $\mathbb{R}^2$, $\pi_{\mathbb{R}^2}=3.141592...$
• Para el taxi/el infinito normas, $\pi_{(\mathbb{R}^2,\|.\|_1)}=\pi_{(\mathbb{R}^2,\|.\|_\infty)}=4$
• Para una norma que tiene un n-ágono como un círculo unitario, tenemos $\pi_{(\mathbb{R}^2,\|.\|)}=??$ (TAREAS: calcular)

Al intentar calcular los valores de $\pi$ para interesar a los círculos de unidad, que se ha definido una norma inducida por un círculo unitario: vamos a $\emptyset\neq D\subset X$ ser en forma de estrella alrededor de $0\in D$. Definir $\lambda D:=\{\lambda d|d\in D\}$. Ahora los (cuasi-)la norma en $X$ se define como $\|x\|:=\min\{\lambda\mid x\in \lambda D\}$.

En otras palabras: el factor de escala necesaria para hacer x una parte de la frontera de D. Esto nos permite encontrar fácilmente las normas para la mayoría de las formas geométricas, que tienen exactamente de que forma Geométrica como un círculo unidad y tienen la propiedad de que la opción de la radio para la definición de $\pi$ es insignificante (por ejemplo, $\pi=3$ se calcula para regular triángulos con (0,0) en el centroide).

Esto permite que para la siguiente identidad: vamos a $x\in\mathbb{R}^2$, e $S\in\partial D$ ser la Intersección de la Línea de $\overline{x0}$ con la frontera de D. Entonces tenemos $$\|x\|_D = \frac{\|x\|_p}{\|S\|_p}$$ where $\|.\|p$ is any (quasi)-norm in $\mathbb{R}^2$ (Esto se deduce de lo positivo de la escalabilidad de las normas)

EDIT: he estado pensando sobre esto un poco más. Sin embargo, me enteré de que mi inducida por la norma definida anteriormente, no es ni siquiera una norma... viola el subadditivity axioma: que la unidad de círculo ser un triángulo equilátero, donde el centro de gravedad marca el punto (0,0). Aquí nos encontramos con $d(\mathbb{S}^1)=3$, lo que viola el triángulo de la ecuación, como $d$ se mide entre 2 puntos de la unidad de la esfera; por lo Tanto, tenemos $\|a\|=1$$\|b\|=1$, pero $\|a+b\|=3\nleq1+1=\|a\|+\|b\|$. En su lugar, tenemos una Quasinorm.

Este hecho permite la $\pi=42$, si el círculo unitario es, por ejemplo, la gráfica de una función de $\varphi\mapsto(r(\varphi),\varphi)$ en coordenadas Polares donde $r(\varphi)=a*\sin(2\pi k)$.

Preguntas Cualquier otro interesante normas? Es esta la definición razonable, y no hay ningún uso práctico para esto? Siéntase libre de compartir sus pensamientos. Cuenta conmigo si he cometido algunos errores formales. Y sobre todo, ¿cómo definir una norma con $\pi=42$?

Acerca de la $\pi=42$

El príncipe Alis Respuesta de abajo muestra que no puede haber tal p-norma, para que $\pi_p=42$, De hecho, esto es cierto para cada norma. Sin embargo, usted puede fácilmente definir un cuasi-norma que ha arbitrario $\pi_{\|.\|}=\kappa\gt\pi$. Por ejemplo,

$r(\theta)=1 + \frac{1}{a} \sin(b \theta)$

Define un quasinorm con $\pi_{\|.\|_{a,b}}=\kappa$ por cada $\kappa>\pi$. $\kappa$ puede ser incrementado por el aumento de a y b. La única cosa que queda por hacer es encontrar a y b para que por fin tenemos $\pi_{\|.\|_{a,b}}=42$.

De acuerdo con Mathematica, la Longitud de la curva de límite es 33.4581 (se necesitaron 10 minutos a calcular) y el diámetro es de 4.5071, lo que resulta en $\pi=7.42342$ por la norma indicada ($a=b=10$). Dudo que será capaz de encontrar fácilmente una solución para $\pi=42$ el uso de este método... (Pruebas de forma manual, tengo ejemplar valores $a=9.95$, $b=175$ con $\pi=42.0649$, lo que viene muy de cerca...

Encima de eso, el Príncipe Ali encontrado un p-norma con $p<1$ que $\pi=42$. Muchas gracias!

Answer 1

Creo que tengo una respuesta parcial a la pregunta, pero yo no reclamar el crédito por ello. http://www.jstor.org/stable/2687579 es el papel que me estoy refiriendo. Sin duda, Miha Habič está refiriendo a la misma cosa. Y aquí voy a resumir la información relevante del papel.

Sólo trabajando con la $p$-normas definidas en $\mathbb{R}^2$ $$d_p((x_1,y_1),(x_2,y_2))=(|x_2-x_1|^p+|y_2-y_1|^p)^{1/p}$$ ya sabemos que esta es una norma si y sólo si $p\geq 1$ y las habituales normas que se mencionan aquí como el taxi, euclidiana, y el máximo de la norma (por "configuración" $p=\infty$) son casos especiales de modo que sólo nos fijamos en $d_p$$p\in [1,\infty)$.

Los autores a continuación se derivan de la expresión $$\pi_p=\frac{2}{p}\int_0^1 [u^{1-p}+(1-u)^{1-p}]^{1/p}du$$ para $\pi$ cualquier $p$-norma. A continuación, se acaba de integrar numéricamente y estimación de $\pi$ diferentes $p$ y obtener

$$\begin{array}{ll} p & \pi_p \\ 1 & 4 \\ 1.1 & 3.757... \\ 1.2 & 3.572... \\ 1.5 & 3.259... \\ 1.8 & 3.155... \\ 2 & 3.141...=\pi \\ 2.25 & 3.155... \\ 3 & 3.259... \\ 6 & 3.572... \\ 11 & 3.757... \\ \infty & 4 \end{array} $$

A continuación, los autores demuestran que la (global) valor mínimo de $\pi_p$ se produce de hecho a al $p=2$. Y numéricos parecen sugerir que $\pi_p$ es siempre entre el $[\pi,4]$ así que la respuesta a su pregunta, parece ser que no es $p$-norma en que $\pi_p=42$.

Answer 2

Un escenario donde esto puede ser trabajado es en 2 dimensiones de Riemann colectores (que tienen una métrica en el espacio métrico sentido de que la inducida por la métrica de Riemann). Si usted no ha oído acerca de esto antes, Wiki tiene una introducción a lo que esto significa, con un montón de fotos.

En esa configuración, usted puede escoger un punto de $p \in M$, y hay una razonable idea de un círculo de radio $r$ centrada en $p$, que creo que coincide con la suya. Entonces preguntarse cuál es la circunferencia de un círculo $L_r$ radio $r$ centrada en $p$. El correspondiente valor de $\pi$$\pi_r = L_r/2\pi$. Si haces un poco de trabajo, usted puede calcular que para las pequeñas $r$, $\pi_r \approx \frac{L_r}{2 r} \approx \pi - \frac{\pi K}{6} r^2$ donde $K$ es la sección transversal de la curvatura de la superficie en $p$. (Este es el ejercicio 5.7 en do Carmo, el libro de Geometría de Riemann)

Así que como $r$ vuelve pequeña te acercas más y más a la costumbre valor de $\pi$. Tal vez la más interesante manera de pensar acerca de esto es que el valor de su $\pi$ dice algo acerca de la curvatura: un espacio de curvatura positiva si los pequeños círculos de la circunferencia menor $\pi r$, y la curvatura negativa que tiene la circunferencia de más de $\pi r$.

Answer 3

Creo que su definición es razonable y puede producir algunos resultados interesantes.

Por ejemplo, si ponemos el taxi métrica en el avión, $\pi_X$ = 4. También, la gente dice que si $\pi$ fueron 3, círculos sería hexágonos, lo que sugiere que hay una métrica en el avión que iba a hacer tanto de los verdaderos. Tengo curiosidad de saber lo que otros $\pi_X$ valores que usted podría conseguir.

Usted probablemente querrá algo más de las condiciones en el espacio métrico. Por ejemplo, probablemente las simetrías debe actuar de manera transitiva en a$X$, de modo que no importa donde usted pone su disco. Y tal vez no debería ser de escala de los mapas, que fijar un punto pero se multiplican todas las distancias por un factor constante. En cualquier caso, para obtener una constante de $\pi_X$ usted debe ser capaz de tomar un disco de cualquier tamaño.

Answer 4

Cuando usted termine de hacer estos usted mismo, usted puede consultar la literatura, mediante la búsqueda de "circunferencia" de la normativa de los espacios.

Answer 5

En el grupo de geometrías de isocurves (es decir euclidiana, hiperbólico, esférico), uno podría medir distancias en una variedad de gobernantes.

El más común es el uso de una regla de la misma curvatura del espacio, que es uno de mínima curvatura. Es decir, la regla es "recto". Pero, dado que un gran círculo en la geometría esférica es un caso límite de un círculo, la variación consiste en que $f(r)$ $f(R)$ donde $r$ $R$ son radios de grandes y pequeños círculos.

Un enfoque diferente es el uso de una regla de curvatura cero, como podría ser implementada por la circunferencia de los círculos es $4\pi$ del diámetro. Este tipo de regla se deriva en una geometría de considerar cada círculo de la intersección de un euclidiana y la geometría no euclidiana, y luego la medición de las distancias euclidianas medidas.

Esto equivale a suponer que una esférica mosaico es un poliedro, y siempre y cuando se apegue a los vértices, todos los pentágonos tienen el mismo aspecto, y líneas rectas, a continuación, invocar $R$ por separado.

La curvatura, a continuación, se convierte en una medida intrínseca de la comparación de $D/R$, ambos medidos en la distancia euclídea manera. Para una esfera, $D<2R$, lo que significa que la circunferencia de un círculo es menor que $C < 2\pi R$. Usted puede encontrar el radio de la esfera por hallar el diámetro (es decir, la circunferencia / $\pi$ de la circunferencia que pasa por el centro, contra el diámetro del círculo más grande. Esta relación puede ser utilizada para encontrar el diámetro del círculo a través de estos puntos, presumiblemente en línea recta.

Hecho en el espacio hiperbólico, tenemos $D>2R$ o $C = \pi D > 2 \pi R$. No es una función de la base del espacio, sino una función de la equilavant de ángulo. Es decir, uno puede construir un círculo donde $D/R = 2/\phi$ donde $R= 72$ grados, o $D/R=2/sqrt{3}$ donde $RR es de 60 grados, etc. Por lo tanto, es con la geometría hiperbólica.