Alice y Bob en un anillo circular de radio $R$

Question

Alice y Bob están moviendo en la dirección opuesta alrededor de un anillo circular de Radio $R$, que está en reposo en un marco inercial. Ambos se mueven con velocidad constante $V$ como se mide en ese marco. Cada uno lleva un reloj que sincronizan a tiempo cero en un momento en el que están en la misma posición en el anillo. Bob predice que la próxima vez que se reúnen, Alicia reloj se leen menos que su causa de la dilatación del tiempo surge porque ella se está moviendo en relación a él. Alice predice que Bob el reloj se lee menos con la misma razón. No pueden ser las dos a la derecha. Lo que está mal con sus argumentos? ¿Cuáles serán los relojes realmente leer?

He intentar responder a lo que su todo mal, Desde que todos ellos están moviendo a la misma velocidad, y todas ellas van a cubrir la misma distancia ($\pi R$), por lo que será en el mismo lugar con el mismo tiempo? pero no estoy seguro acerca de mi razonamiento, A continuación, el reloj mostrará la lectura del $\Delta t=\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\Delta t_B.$

Puede cualquiera me dé una justificación clara sobre Lo que está mal con sus argumentos?

Answer 1

Ambos se mueven con velocidad constante V medido en ese marco.

Constante de velocidad pero no constante de velocidad; tanto Alice y Bob están acelerado, es decir, cada uno observa a los otros del acelerómetro para leer no-cero, por lo que el estándar SR razonamiento no se aplica.

Sin embargo, su worldlines, entre el evento inicial en el caso de que el próximo, son congruentes por lo tanto, el buen tiempo a lo largo de cada worldline es idéntico, por lo que sus relojes se acuerda la próxima vez que se reúnan.

Answer 2

Cada uno lleva un reloj que sincronizan a tiempo cero en un momento en el que están en la misma posición en el anillo. Bob predice que la próxima vez que se reúnen, Alicia reloj se leen menos que su causa de la dilatación del tiempo surge porque ella se está moviendo en relación a él. Lo que está mal [...] ?

Hay dos cosas mal con Bob argumento, como se presenta en la pregunta:

1. No había explícita asunción o expectativa dado que la propia "tarifas" de Alice reloj de lecturas y de Bob reloj de lecturas, al menos, en promedio, entre sus reuniones,

$$\frac{(t_A[ \text{reunion} ] - t_A[ \text{departure} ])}{\Delta \tau_A[ \small{ \text{from departure until reunion}} ]}$$

y

$$\frac{(t_B[ \text{reunion} ] - t_B[ \text{departure} ])}{\Delta \tau_B[ \small{ \text{from departure until reunion}} ]}$$,

deben estar relacionadas entre sí; por ejemplo, si estas dos tasas se supone/espera a ser iguales el uno al otro, o lo otro.

(Y no le dieron nada más que la sincronización inicial de los dos relojes, no hay ninguna razón en absoluto para la celebración de cualquier particular expectativa acerca de cómo estas dos tasas, podría estar relacionado con cada uno de los otros.)

Y 2.:
Basado en la configuración de la descripción de los movimientos de Alice y Bob relativa a cada uno de los otros, de contabilidad para la "dilatación del tiempo" como de costumbre, Bob (y Alice, y todo el mundo) determinar

$\Delta \tau_A[ \small{ \text{from departure until reunion}} ] == \Delta \tau_B[ \small{ \text{from departure until reunion}} ] == \sqrt{ 1 - \frac{V^2}{c^2} } \pi \frac{R}{V}$.

Así que ciertamente no hay razón para predecir/esperar

$t_A[ \text{reunion} ] < t_B[ \text{reunion} ]$

(donde, de acuerdo con la sincronización inicial $t_A[ \text{departure} ] = t_B[ \text{departure} ] = 0$ ).