Gama de $\sqrt{x-1}$

Question

El problema:

Encuentre el rango de $f(x)=\sqrt{x-1}$

Ahora el problema al que me enfrento es el siguiente: ¿es la gama $[0,\infty),$ o es $(-\infty,\infty)$ ? $$$$I had learnt that $ \sqrt{x^2} = \pm x $. However, on the Net, I read that $ |x^2}=|x| $ ie the output of a square root function is positive. If the output of a square root is always positive then the Range of $ \N - x-1} $ is obviously $ [0, \infty) $ $$$$

Agradecería mucho cualquier ayuda para despejar esta duda. ¡Muchas, muchas gracias de antemano!

Answer 1

$\sqrt{z}$ es una función (mapea un punto a un solo punto). Así que $\sqrt{z^2}$ sólo puede tomar un único valor. Por convención, $\sqrt{z}\ge0$ . Así que, $\sqrt{z^2}=|z|$ . Así que para responder a su pregunta, el rango será $[0,\infty)$

Answer 2

Pensamos en $\sqrt{}$ como la raíz cuadrada positiva. Esto es por comodidad, pero es el consenso de todos los matemáticos. Por supuesto, es cierto que $(-x)^2 = (x)^2$ Así que incluso podría decir algo como $x$ y $-x$ son ambas raíces cuadradas de $x^2$ . Al resolver una ecuación como $(x+4)^2 = 25$ Sólo se puede "sacar la raíz cuadrada" de ambos lados si se recuerda que siempre puede haber hasta dos raíces cuadradas, y se querría escribir $(x+4) = \pm\sqrt{25}$ .

Pero los matemáticos están de acuerdo en que $\sqrt{}$ debe referirse siempre a un número, como deben hacer las funciones. Se produciría una confusión si al escribir $\sqrt{}$ y cuando escribí $\sqrt{}$ podríamos estar refiriéndonos a dos números distintos. Así que queremos $\sqrt{}$ para ser un función . Su pregunta subraya que $\sqrt{}$ es una función refiriéndose a ella como $f(x)$ y preguntando por su alcance. Las funciones deben dar salida a un $single$ para cada entrada. Por eso definimos $\sqrt{ x^2} = |x|$ . La gama es $[0,\infty)$ .

Answer 3

He aquí algunas falacias que he observado en su respuesta.

1. La expresión $f(x)=\sqrt{x-1}$ En primer lugar, se requiere un dominio, normalmente se asume que $x\geq1$ es decir, $f(x)\mid \forall x\in [1,\infty) \to f(x)\in [0,\infty)$

2. Su expresión, $\sqrt{x^2}=\pm x$ no es válido, debe ser $\color{red}{\pm}\sqrt{x^2}=\pm x.$

3. Normalmente, $\sqrt{x^2}=|x|$ que se define como, $$\begin{cases}x& x\geq0 \\ -x & x<0 \end{cases}$$

Answer 4

La definición de la raíz cuadrada incluye que es la positivo raíz cuadrada:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$ (lo que significa que las soluciones de $x^2=a$ son $x=\sqrt a$ y $x=-\sqrt a$ ).

Como la función de módulo $f(x)\ge0$ tiene un rango $[0,\infty)$ Esto significa que el rango de $f(x)=\sqrt{x-1}$ es $[0,\infty)$ al igual que la función módulo, y el dominio es $x\ge1$ .

Answer 5

Para que la función raíz cuadrada esté definida x-1>=0,o x>=1 allí el rango de la función es [0,+inf)