Polinomio mínimo de $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Question

Para encontrar el polinomio mínimo anterior, dejemos que $$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ $$x^2=10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}$$ Restando 10 y elevando al cuadrado se obtiene $$x^4-20x^2+100=4(31+2\sqrt{60}+2\sqrt{90}+2\sqrt{150})$$ $$x^4-20x^2+100=4(31+4\sqrt{15}+6\sqrt{10}+10\sqrt{6})$$ $$x^4-20x^2-24=40\sqrt{6}+24\sqrt{10}+16\sqrt{15}$$ $$x^4-20x^2-24=8(2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15})+24\sqrt{6}+8\sqrt{10}$$ $$x^4-20x^2-24=8(x^2-10)+24\sqrt{6}+8\sqrt{10}$$ $$x^4-28x^2-104=24\sqrt{6}+8\sqrt{10}$$ De nuevo, cuadrando ambos lados $$x^8-56x^6+576x^4+5428x^2+10816=4096+765\sqrt{6}$$ Pero si vuelvo a elevar al cuadrado, obtendré un polinomio de grado 16. Mathematica dice que el polinomio mínimo es de grado 8, lo que tendría sentido ya que los elementos de $\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}]$ parecer $$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{5}+e\sqrt{6}+f\sqrt{10}+g\sqrt{15}+h\sqrt{30}$$ ¿Dónde estoy cometiendo errores?

Answer 1

En general, si $p_1,\dotsc,p_n$ es cualquier lista de enteros, entonces el polinomio $$f=\prod_{e_1,\dotsc,e_n \in \{\pm 1\}} (x+e_1 \sqrt{p_1}+\dotsc+e_n \sqrt{p_n})$$ tiene coeficientes en $\mathbb{Z}$ que se deduce por inducción de la observación

$p \in \mathbb{Z},\,g \in \mathbb{Z}[x] \Rightarrow g(\sqrt{p}) \cdot g(-\sqrt{p}) \in \mathbb{Z}[x]$ .

Se puede demostrar esto utilizando el grupo de automorfismo de $\mathbb{Z}[\sqrt{p}]$ . Pero también se puede simplemente verificar a través de algún cálculo directo, lo que tiene la ventaja de que se ve realmente por qué el $\sqrt{p}$ -se desvanecen los términos y se puede calcular $f$ más rápido.

Claramente, $f$ es mónico, tiene grado $2^n$ y tiene $\sqrt{p_1}+\dotsc+\sqrt{p_n}$ como raíz. Así que esto es bastante elemental y para cualquier $n$ también se puede calcular $f$ . Lo que no es tan fácil de demostrar es que si $p_1,\dotsc,p_n$ son enteros libres de cuadrados y coprimos, entonces $f$ es irreducible. Equivalentemente, el grado de $\sqrt{p_1}+\dotsc+\sqrt{p_n}$ es igual a $2^n$ . Puede encontrar la prueba aquí ("square-root-extension.pdf").

Para los números $p_1,p_2,p_3 = 2,3,5$ obtenemos $f = x^8 - 40 x^6 + 352 x^4 - 960 x^2 + 576$ .

Answer 2

La forma "fácil" de obtener el polinomio mínimo en este caso es tomar el producto de todos los términos $x\pm\sqrt2\pm\sqrt3\pm\sqrt5$ esto es, en esencia, porque el grupo de Galois sobre $\mathbb{Q}$ en este caso es sólo $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$ con cada una de las tres copias de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ correspondiente a un cambio de signo en uno de los tres términos de la raíz cuadrada. El enfoque simple (tomar el producto de $(x-\alpha)$ sobre todas las posibles $\alpha$ obtenido aplicando los automorfismos en el grupo de Galois a $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5$ ) funciona aquí porque $\sqrt2$ , $\sqrt3$ y $\sqrt5$ son "mutuamente irreducibles" sobre $\mathbb{Q}$ (en el sentido de que $\sqrt2\not\in\mathbb{Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5})$ etc.), para poder componer las extensiones de forma limpia.

Answer 3

Empecé observando que $2+3 = 5$ Pensé que eso lo haría más fácil. Entonces

$$ x-\sqrt{5} = \sqrt{2}+\sqrt{3} $$ $$ x^2-2\sqrt{5}x+5 = 2\sqrt{6}+5 $$ $$ x^2-2\sqrt{5}x = 2\sqrt{6} $$ $$ x^4-4\sqrt{5}x^3+20x^2 = 24 $$ $$ x^4+20x^2-24 = 4\sqrt{5}x^3 $$ $$ x^8+40x^6+352x^4-960x^2+576 = 80x^6 $$ $$ x^8-40x^6+352x^4-960x^2+576 = 0 $$

(O, por supuesto, puedes hacerlo de forma más sistemática a través de la teoría de Galois).

Answer 4

Pensé en deshacerme de los surds uno por uno: primero deshacerme de $\sqrt2$ entonces $\sqrt3$ y finalmente $\sqrt5$ . Para deshacerse de un surd, yo pondría todo lo que tiene ese surd a un lado, y luego lo cuadraría. (Tenga en cuenta que $\sqrt{15}$ tiene un $\sqrt3$ en él).

\begin {align} x&= \sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt5\\ x- \sqrt3 - \sqrt5 &= \sqrt2\\ (x- \sqrt3 - \sqrt5 )^2&=2 \\ x^2+(-2 \sqrt5 -2 \sqrt3 )x+(2 \sqrt {15}+8)&=2 \\ x^2+(-2 \sqrt5 -2 \sqrt3 )x+(2 \sqrt {15}+6)&=0 \\ x^2-2 \sqrt5x +6&=2 \sqrt3x -2 \sqrt {15} \\ (x^2-2 \sqrt5x +6)^2&=(2 \sqrt3x -2 \sqrt {15})^2 \\ x^4-4 \sqrt5x ^3+32x^2-24 \sqrt5x +36&=12x^2-24 \sqrt5x +60 \\ x^4-4 \sqrt5x ^3+20x^2-24&=0 \\ x^4+20x^2-24&=4 \sqrt5x ^3 \\ (x^4+20x^2-24)^2&=80x^6 \\ x^8+40x^6+352x^4-960x^2+576&=80x^6 \\ x^8-40x^6+352x^4-960x^2+576&=0 \end {align} Esto, por supuesto, es igual a la respuesta de la teoría de Galois de $\displaystyle\prod(x\pm\sqrt2\pm\sqrt3\pm\sqrt5)$ donde se multiplican todas las opciones posibles de signos juntos.

Answer 5

Una forma elemental

$(x-\sqrt2)^2=(\sqrt3+\sqrt5)^2 \implies x^2+2-2x\sqrt2=8+2\sqrt{15}\implies(x^2-6-2x\sqrt2)^2=((x^2-6)^2-4x(x^2-6)\sqrt2+8x^2)^2=60\implies((x^2-6)^2+8x^2-60)^2=(4x(x^2-6)\sqrt2)^2$

Este polinomio resultante de $\mathbb{Q}[x]$ es obviamente de grado 8