He estado tratando de demostrar que si $A$ es un conjunto cerrado que es también una intersección contable de muchos sistemas abiertos $A$ es el conjunto de cero para alguna función real-valued continua sin embargo hasta ahora no han. ¿Esto es incluso cierto?
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DiGi
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No es cierto.
John Thomas, Un espacio normal, no es completamente regular, Amer. De matemáticas. Mensual 76 (1969), 181-182, construido regular de un espacio de Hausdorff $X$, con dos puntos, $p$, e $q$, de tal manera que para cada continua $f:X\to\Bbb R$, $f(a)=f(b)$. Por otra parte, $X$ ha contables locales bases en$p$$q$. Por lo tanto, $\{p\}$ es un cerrado $G_\delta$en $X$ que no puede ser cero: cualquier cero conjunto que contiene a $p$ también debe contener $q$.
A. Mysior, Un espacio normal, que no es completamente regular, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 81 (1981), 652-653, está disponible gratuitamente y dispone de un regular de Hausdorff espacio con un punto de $p$ y un conjunto cerrado $F$ tal que para cada continuas $f:X\to\Bbb R$ y $x\in F$, $f(x)=f(p)$. El punto de $p$ tiene una contables locales de base, así que aquí de nuevo $\{p\}$ es un cerrado $G_\delta$ que no puede ser cero.
Anthony Cramp
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Martin
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Brian respuesta cubre la pregunta completamente. Para la diversión, aquí está otro ejemplo:
Bing es irracional pendiente espacio es una contables y conectado espacio de Hausdorff.
Ahora observe:
Si $f \colon X \to \mathbb{R}$ es continuo, $f(X)$ es una contables y conectado subconjunto de $\mathbb{R}$, por lo tanto debe ser reducido a un punto. Por lo tanto, todas las funciones continuas $f \colon X \to \mathbb{R}$ son constantes, y el único cero de conjuntos es el conjunto vacío y el espacio en sí mismo.
Desde $X$ es contable y $T_1$, cada subconjunto $F$$X$$G_\delta$: $F = \bigcap_{x \in X \setminus F} X \setminus \{x\}$, en particular, hay una abundancia de cerrado $G_\delta$ establece que no son cero conjuntos.
