Integral definida del producto de funciones

Question

Sé que no es correcto escribirlo:

$$\int_{a}^{b}f(x)g(x) dx = \int_{a}^{b}f(x)dx\int_{a}^{b}g(x)dx$$

Este resultado parece obvio, pero no se me ocurre una forma de demostrar que $\int_{a}^{b}f(x)g(x) dx$ no puede expresarse como una función de la forma : $$F\left(\int_{a}^{b}f(x)dx;\int_{a}^{b}g(x)dx\right)$$

¿Es algo sencillo que se me escapa? ¿Cómo se puede demostrar que una integral definida no se puede representar como se ha dicho antes?

Answer 1

Sólo hay que encontrar dos pares de funciones $f_1, g_1$ y $f_2,g_2$ tal que $$\int f_1 = \int f_2, \quad\quad \int g_1 = \int g_2$$ pero $$\int f_1 g_1 \neq \int f_2 g_2$$

Probablemente cualquier par que se te ocurra servirá.

Answer 2

Una pista:

Déjalo: $$ \int_a^x f(t)dt=F(x) \qquad \int_a^x g(t)dt=G(x) $$ Del teorema fundamental del cálculo tenemos $$ \dfrac{d}{dx} F(x)=f(x) \qquad \dfrac{d}{dx} G(x)=g(x) $$

y, utilizando la regla del producto para la derivada:

$$ \dfrac{d}{dx}\left[\int_a^x f(t)dt\int_a^x g(t)dt\right]=\dfrac{d}{dx}\left[F(x)G(x)\right]=G(x)f(x)+F(x)g(x) \ne f(x)g(x) $$