$f\in C[0,\infty]$ y $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=L<\infty$ . Calcule $\lim\limits_{n\to \infty} \int_{0}^{2} f(nx)dx$

Question

Me encantaría que me ayudaras con esto

Sea $f$ sea una función continua en $[0,\infty )$ y supongamos que $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=L<\infty$ . Necesito calcular:

$$\lim_{n\to \infty} \int_{0}^{2} f(nx)dx.$$

Debido al hecho de que $f$ es continua quiero insertar el $\lim$ en la integral (¿Se me permite? ¿En qué condiciones?), y básicamente escribir : $\lim\limits_{n\to \infty} \int_{0}^{2} f(nx)dx=\int_{0}^{2}\lim\limits_{n\to \infty} f(nx)dx=\int_{0}^{2}\ L dx=2L$ . Estoy bastante seguro de que está mal. ¿Cuál es la solución correcta?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Puedes utilizar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue. Para ello es necesario que $f$ está dominada por alguna función integrable $g$ es decir $\int_0^2 |g| dx < \infty$ y $ | f_n (x) | := |f(nx) | \leq g(x)$ para todos $n$ y para todos $x$ en el conjunto sobre el que se integra, en su caso todos los $x \in [0,\infty)$ .

$f$ es continua y acotada. Así que puede elegir $g(x) := \sup\limits_{x \in [0,\infty)} |f(x)|$ ; entonces,

$$ f_{n}(x) \leq |f_{n}(x)| \leq g(x)$$

y por el teorema de convergencia dominada,

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^2 f(nx) dx = \int_0^2 \lim_{n \rightarrow \infty} f(nx) dx = \int_0^2 L dx = 2L$$

Answer 2

Puedes resolver este problema simplemente utilizando la definición del límite.

Denotemos $I_n = \int\limits_0^2f(nx)\,dx = \frac1n\int\limits_0^{2n} f(x)dx$ . Desde $\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = L<\infty$ para cualquier $\varepsilon>0$ hay $x(\varepsilon)$ s.t. para todos $x>x(\varepsilon)$ : $$ L-\varepsilon\leq f(x)\leq L+\varepsilon. $$

Arreglemos $\varepsilon>0$ y recoger cualquier $n>x(\varepsilon)$ entonces $$ I_n = \frac1n\int\limits_{0}^{x(\varepsilon)}f(x)dx+\frac1n\int\limits_{x(\varepsilon)}^{2n}f(x)dx\quad (1) $$ y así $$ \frac1nJ(\varepsilon)+\left(2-\frac{x(\varepsilon)}{n}\right)(L-\varepsilon)\leq I_n\leq \frac1nJ(\varepsilon)+\left(2-\frac{x(\varepsilon)}{n}\right)(L+\varepsilon)\quad (2) $$ donde $J(\varepsilon)= \int\limits_{0}^{x(\varepsilon)}f(x)dx$ . En otras palabras, $$ \frac1n(J(\varepsilon)-(L+\varepsilon)x(\varepsilon))-2\varepsilon\leq I_n-2L\leq \frac1n(J(\varepsilon)-(L+\varepsilon)x(\varepsilon))+2\varepsilon. $$

Para cualquier $\delta$ recogemos $\varepsilon<\delta$ y $N>\frac{3}{\delta}(J(\varepsilon)-(L+\varepsilon)x(\varepsilon))$ por lo que para cualquier $n\geq N$ tenemos $$ |I_n-2L|\leq \delta, $$ así que $\lim\limits_{n\to\infty}I_n = 2L$ .

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Permítanme mostrarles cómo $(1)$ implica $(2)$ : $$ I_n = \frac1n J(\varepsilon)+\frac1n\int\limits_{x(\varepsilon)}^{2n}f(x)dx\leq \frac1n J(\varepsilon) +\frac{2n-x(\varepsilon)}{n}(L+\varepsilon)=\frac1nJ(\varepsilon)+\left(2-\frac{x(\varepsilon)}{n}\right)(L+\varepsilon). $$ donde la desigualdad se cumple porque $f(x)\leq L+\varepsilon$ para todos $x\geq x(\varepsilon)$ . La otra desigualdad en $(2)$ se obtiene de forma similar ya que $f(x)\geq L-\varepsilon$ para todos $x\geq x(\varepsilon)$ .

Answer 3

Desde $f$ es continua y puesto que $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)=L$ se deduce que $|f|$ está limitada por una constante $M$ en todos los $[0,\infty)$ .

Sea $ \epsilon>0$ . Establecer $\delta={\epsilon\over M}$ . Elija $N$ de modo que para cualquier $n>N$ y cualquier $x>\delta$ , $L-\epsilon\le f(nx)\le L+\epsilon$ .

Ahora $$ \int_0^2 f(nx) =\int_0^\delta f(nx) +\int_\delta^2 f(nx) . $$ Para $n>N$ $$ (2-\delta)(L-\epsilon)\le\int_\delta^2 f(nx) \le (2-\delta)(L+\epsilon).$$

De ello se deduce que $$ \int_0^\delta f(nx) + (2-\delta)(L-\epsilon) \le \int_0^2 f(nx) \le\int_0^\delta f(nx) + (2-\delta)(L+\epsilon); $$ de donde $$ -\delta M+ (2-\delta)(L-\epsilon) \le \int_0^2 f(nx) \le\delta\cdot M+ (2-\delta)(L+\epsilon). $$ A partir de aquí, tenemos $$ -\epsilon+ (2-\delta)(L-\epsilon) \le \int_0^2 f(nx) \le\epsilon+ (2-\delta)(L+\epsilon), $$ para todo n>N. Pero entonces $$ 2L+{\epsilon^2\over M}-3\epsilon-{\epsilon\over M}L \le \int_0^2 f(nx) \le 2L-{\epsilon^2\over M}+3\epsilon-{\epsilon\over M}L , $$ para todo n>N.

Desde $L$ y $M$ son fijos, el resultado es el siguiente.