Demostrar que no existe ningún elemento de orden $8$ $SL(2,3)$

Question

Que $SL(2,3)=SL(2,\mathbb{F}_3)$. Demostrar que no existe ningún elemento de orden $8$ $SL(2,3)$.

Mi intento:

Sea $A$ una matriz en $SL(2,3)$.

Entonces $A=U X U^{-1} $ $U$ $X$ Dónde está la matriz diagonal de valores propios $A$ invertible. Entonces $A^n=UX^nU^{-1}$ y luego tomamos los casos de valores propios diferentes de $A$ pero esto no se parece al trabajo que implica que cada matriz en $SL(2,3)$ tiene orden en mayoría $2$.

Gracias de antemano

Answer 1

Posiblemente la forma que implica menos trabajo con matrices específicas y la mayoría de la teoría de grupo:

Lemma1: El $p$-Sylow en $SL_n(\mathbb{F}_q)$ no es normal cuando se $q$ es una potencia de $p$.
Prueba: es sencillo comprobar que el conjunto de superior o inferior triangular matrices con $1$'s en la diagonal es una $p$-Sylow, y dado que estos son distintos, $p$- Sylow no es normal.

Lemma2: Si $|G| = 2^rm$ $m$ impar y el $2$-Sylow es cíclica y, a continuación, $G$ tiene un subgrupo normal de orden $m$.
Prueba: Considerar la acción de la $G$ sobre sí mismo por la izquierda de la traducción como un mapa a $S_{|G|}$ y no un generador para una $2$-Sylow corresponde a $m$ discontinuo $2^r$-ciclos y por lo tanto es una forma extraña de permutaciones. Esto significa que la imagen de $G$ no está contenido en $A_{|G|}$, por lo que la preimagen de $A_{|G|}$ es un subgrupo de $G$ de índice de $2$. Ahora el reclamo de la siguiente manera por inducción en $r$ (desde un subgrupo normal de orden $m$ es una Sala de subgrupo y por lo tanto la característica).

Finalmente, vemos que no hay ningún elemento de orden $8$ $SL_2(\mathbb{F}_3)$ ya que esto significaría que había un cíclica $2$-Sylow y por Lemma2 así un subgrupo normal de orden $3$, es decir, una normal $3$-Sylow, lo que contradice Lemma1.

Answer 2

Deje $A$ ser una matriz y $q(x)\in\Bbb F_3[x]$ su monic mínima polinomio. Desde su polinomio característico $p(x)=\det(A-xI)$ tiene el grado $2$, tiene $\deg q\le 2$. Observe que $p(x)$ es monic así.

Una matriz en la $SL(2,\Bbb F_3)$ orden $8$ si y sólo si $q$ divide $x^8-1$, pero no divide a $x^4-1$.

Desde el primer factorización en $\Bbb F_3[x]$ $x^8-1$ \begin{align}x^8-1&=(x^4-1)(x^4+1)=\\&=\left[(x-1)(x+1)(x^2+1)\right]\left[(x^2+x-1)(x^2-x-1)\right]=\\\end {align} debe aguantar $q(x)=x^2-x-1$ o $q(x)=x^2+x-1$.

Dado que tanto $p(x)$ $q(x)$ son monic, debe aguantar $p(x)=q(x)$. Pero, a continuación,$q(0)=\det A=-1$, lo que contradice el hecho de que $A\in SL(2,\Bbb F_3)$.

Answer 3

Bueno, si $A$ no es diagonalizable sobre$\bar{\mathbf F}_3$, entonces podemos suponer que la $A=D+N$ con $$ D=\begin{pmatrix} \lambda&0\\0&\lambda\end{pmatrix} \quad\text{y}\quad N=\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix} $$ para algunos $\lambda\in\mathbf F_3^\star$. Desde $D$ $N$ viaje, y desde $N^2=0$, uno tiene $$ A^8=D^8+8D^{7}N $$ cuyo elemento $(1,2)$ es distinto de cero.

Si $A$ es diagonalizable sobre$\bar{\mathbf F}_3$, entonces podemos asumir que $$ A=\begin{pmatrix} \lambda&0\\0&\lambda^{-1}\end{pmatrix} $$ para algunos $\lambda\in \mathbf F_9^\star$. Por supuesto, si $\lambda\in\mathbf F_3^\star$$A^2=I$. Podemos asumir, por tanto, que $\lambda\not\in\mathbf F_3$. Pero, a continuación, $\lambda^{-1}$ debe ser el conjugado de a$\lambda$$\mathbf F_3$, es decir, $\lambda^{-1}=\lambda^3$. De ello se desprende que $\lambda^4=1$$A^4=I$. Por lo tanto, $\mathrm{SL}(2,\mathbf F_3)$ no contiene ningún elemento de orden $8$.

Answer 4

En cuenta que $G={\rm SL}(2,3)$ % de orden $3\cdot 8$, para que un elemento de orden ocho pagar un cíclico subgrupo de Sylow. Desde todos los subgrupos de Sylow son producto conjugado (tan en particular isomorfo), le basta un subgrupo nonabelian en $G$ $8$ de la orden.