Suma de la serie Maclaurin

Question

Hallar la suma de la serie infinita \begin {Ecuación} \sum_ {n=2}^ \infty\frac {7n(n-1)}{3^{n-2}} \end {ecuación} Creo que probablemente tiene algo que ver con una serie conocida de Maclaurin, pero no puedo ver cuál Se agradece cualquier pista.

Edición: Usando tus pistas, he podido resolver el problema. Lo resuelvo aquí por si alguien se pregunta lo mismo:

Manipule \begin {Ecuación} \sum_ {n=2}^ \infty x^n= \frac {1}{1-x}-x-1 \end {ecuación} diferenciando ambos lados: \begin {Ecuación} \sum_ {n=2}^ \infty nx^{n-1}= \frac {1}{(1-x)^2}-1 \end {ecuación} diferenciar de nuevo: \begin {Ecuación} \sum_ {n=2}^ \infty (n-1)nx^{n-2}= \frac {2}{(1-x)^3} \end {ecuación} enchufando $\frac{1}{3}$ para x: \begin {Ecuación} \sum_ {n=2}^ \infty n(n-1)( \frac {1}{3})^{n-2}= \frac {2}{(1- \frac {1}{3})^3} \end {Ecuación} que equivale a \begin {Ecuación} \sum_ {n=2}^ \infty \frac {n(n-1)}{3^{n-2}} \end {ecuación} finalmente, multiplicando por 7 nos da \begin {Ecuación} \begin {split} \sum_ {n=2}^ \infty \frac {7n(n-1)}{3^{n-2}}&=7 \frac {2}{(1- \frac {1}{3})^3} \\ &= \underline { \underline { \frac {189}{4}}} \end {split} \end {Ecuación}

Answer 1

Sugerencia: Observe

$$ \sum x^n = \frac{ 1}{1- x} $$

$$ \sum n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2} $$

$$ \sum n (n-1) x^{n-2} = \frac{2 }{(1-x)^3} $$

todos ellos convergen para $|x| < 1$

Answer 2

Una pista. Tenemos que para $x\not=1$ y $N\geq 2$ , $$\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{1-x^{N+1}}{1-x}\right)=\frac{d^2}{dx^2}\left(\sum_{n=0}^N x^n\right)=\sum_{n=2}^N n(n-1)x^{n-2}.$$

P.D. para los que votan en contra. He considerado una suma finita porque no es tan sencillo decir que podemos intercambiar la diferenciación y la suma infinita: para $|x|<1$ , $$\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{d^2}{dx^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\right)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{d^2(x^n)}{dx^2} =\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)x^{n-2}.$$

Answer 3

Usted quiere $\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^n $ para un determinado valor de $x$ .

Comienza con $\sum_{n=2}^{\infty} x^n =\dfrac{x^2}{1-x} $ y diferenciarlo dos veces.

Answer 4

No se puede diferenciar una serie infinita término a término y esperar que el resultado sea la derivada. Es cierto que para una serie de potencias este proceso da el resultado esperado con el mismo radio de convergencia, pero es un no trivial hecho. $ \def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}} $

Además, no hay necesidad de diferenciación o integración en este caso.

Dejemos que $S(m) = \sum_{n=2}^m \lfrac{7n(n-1)}{3^{n-2}}$ .

Entonces $S(m) - \lfrac13 S(m) = \sum_{n=2}^m \lfrac{7n(n-1)}{3^{n-2}} - \sum_{n=3}^{m+1} \lfrac{7(n-1)(n-2)}{3^{n-2}}$

  $\ = \sum_{n=2}^m \lfrac{7n(n-1)}{3^{n-2}} - \sum_{n=2}^{m+1} \lfrac{7(n-1)(n-2)}{3^{n-2}}$   [Este paso no es necesario pero sí conveniente].

  $\ = \sum_{n=2}^{m+1} \lfrac{14(n-1)}{3^{n-2}} - \lfrac{7(m+1)m}{3^{m-1}}$ .

Esto reduce el grado del polinomio del numerador en uno. Repite esto una vez más y obtendrás una serie geométrica habitual, cuya suma también podrías demostrar por el mismo método. Al final sólo hay que tomar $m \to \infty$ para obtener la respuesta.