Análisis complejo: Si $z =re^{i\theta}$, entonces probar que $|e^{iz}| =e^{-r\sin\theta}$

Question

Problema:

Si $z =re^{i\theta}$, entonces probar que $|e^{iz} | =e^{-r\sin\theta}$

Mi trabajo:

$z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

$\Rightarrow iz = ir(\cos\theta +\sin\theta)$ = $-r\sin\theta +ir\cos\theta$

$\Rightarrow e^{iz} =e^{(-r\sin\theta +ir\cos\theta)} = e^{-\sin\theta} e^{ir\cos\theta}$

$\Rightarrow |e^{iz}| = |e^{-r\sin\theta}||e^{ri\cos\theta}|$

Ahora por favor, guía de cómo proceder a obtener el resultado... gracias.

Answer 1

Estás casi allí, ahora solo usa el hecho de que $|e^{ix}|=1$ % real todo $x$y que $e^a>0$ % todos $a\in\mathbb{R}$.

Answer 2

Recordar que $|e^{a+ib}|=e^a$ suponiendo que $a,b$ real; i.e., $|e^z|=e^{\Re(z)}$.

Desde $iz=ire^{i\theta}=-r\sin\theta+ir\cos\theta$, $|e^{iz}|=e^{\Re(iz)}=e^{-r\sin\theta}$ %.