¿Existe una suryección racional $\Bbb N\to\Bbb Q$ ?

Question

La pregunta está en el título. ¿Existe una función racional unidimensional $f\in\Bbb R(X)$ que restringe a $\Bbb N\to\Bbb Q$ que es una suryección sobre $\Bbb Q$ ? Yo creo que no.

Ampliando un poco el alcance (a costa de la precisión), ¿hay alguna función "bonita" que enumere $\Bbb Q$ ? Aquí "bonito" significa excluir la función suelo o la función de valor absoluto y los trucos relacionados. Al principio pensé que podría funcionar usar funciones analíticas aquí, pero hay una función analítica que toma cualquier valor elegido en $\Bbb N$ sujeta a una hipótesis de crecimiento leve (creo que $f(n)\in o(n)$ ), definiendo $f(z)=\sum_{n\in\Bbb N}a_n{\rm sinc}(\frac{z-n}\pi)$ , donde ${\rm sinc}(z)=\frac{\sin(z)}z$ extendida continuamente por encima de cero. Dejaré que los que respondan aporten sus propias definiciones de "agradable" si quieren abordar la cuestión más amplia.

Answer 1

Al menos para la cuestión de una función racional $\Bbb N\to\Bbb Q$ la respuesta es no. De hecho, podemos hacer una afirmación más fuerte:

Si $f:\Bbb N\to\Bbb R$ es una función racional, entonces el rango de $f$ está acotada por arriba o por abajo.

Prueba: Separar el término de mayor orden de $f$ escribiéndola como $f(x)=ax^n+g(x)$ donde $g\in o(x^n)$ para algunos $n\in\Bbb Z$ . Si $a\ge 0$ , entonces afirmamos $f$ está acotado por debajo (y por simetría, $f$ está acotado por encima si $a\le 0$ ).

Según la definición de little-O, hay algo de $N\in\Bbb N$ tal que para todo $x>N$ , $|g(x)|\le ax^n$ . Entonces $f(x)\ge0$ Así que $f(x)\ge\min\{f(0),f(1),\dots,f(N)\}$ .

Edición: Como alternativa, podemos utilizar Arnaud's sugerencia: la derivada de $f$ es también una función racional real, que sólo cambia de signo en las raíces del numerador y del denominador. Así, $f$ es monótona por encima de la raíz mayor de la derivada (digamos $f$ es creciente, el otro caso está cubierto por la simetría), por lo que $f$ está eventualmente acotado por debajo, y por tanto acotado por debajo por el mismo argumento anterior.

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El ejemplo de la función analítica en el PO puede extenderse a funciones con cualquier tasa de crecimiento polinómico. Defina ${\rm sincz}(z)={\rm sinc}(\frac z\pi)=\frac\pi z\sin(\frac z\pi)$ . Esta función tiene la propiedad ${\rm sincz}(0)=1$ y ${\rm sincz}(n)=0$ para todos los demás $n\in\Bbb Z$ . Además, como $|\sin(x)|\le 1$ en $\Bbb R$ , $|{\rm sinc}(x)|\le\frac 1x$ y $|{\rm sincz}(x)|\le\frac\pi x$ . Para lograr tasas de convergencia aún mayores, podemos tomar ${\rm sincz}^n(x)$ que también tiene el mismo comportamiento en los enteros pero es $O(x^{-n})$ .

La tasa de convergencia es necesaria para garantizar que $\sum_{n\in\Bbb N}a_n{\rm sincz}^m(z-n)$ converge. Si $a_n$ es $O(n^k)$ entonces $a_n{\rm sincz}^m(z-n)$ es $O(n^{k-m})$ por lo que la suma converge para $m>k+1$ . Entonces, como una suma uniformemente convergente (uniformemente porque se está utilizando un límite global en ${\rm sincz}$ ) de funciones analíticas, es a su vez analítica, y toma el valor $f(n)=a_n$ en cada número entero. No hace falta decir que la mayoría de las biyecciones construidas $\Bbb N\to\Bbb Q$ tienen un crecimiento polinómico, normalmente $O(n^{1/2})$ por lo que esto demuestra que existe una función analítica cuya restricción a los números naturales es una biyección a $\Bbb Q$ aunque es bastante artificioso y no "simplifica" realmente la expresión.

Answer 2

Este es un argumento alternativo basado en la sugerencia de Arnaud. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que la función racional $f$ es $\frac{p}{q}$ donde $n = \deg(p) \ge \deg(q) = m$ (de lo contrario, el comercio $f$ en para $\frac{1}{f}$ ). Pero entonces (usando $(\frac{p}{q})' = \frac{p'q - pq'}{q^2}$ ) que tienes: $$ f'(x) = \frac{(n-m)p_nx^{m+n-1} + \mbox{terms of lower degree}}{x^{2m} + \mbox{terms of lower degree}} $$ donde, sin pérdida de generalidad, he asumido $q$ es mónico y donde $p_n \neq 0$ y $n > 0$ (si $n = 0$ , $f$ es constante). Por lo tanto, como $x$ tiende a $\pm\infty$ , $f'(x)$ tiende a $\pm\infty$ , si $n > m+ 1$ y a $p_n \neq 0$ si $n = m + 1$ . Así que $f(x)$ es monótona siempre que $|x|$ es suficientemente grande si $n > m$ . Si $m = n$ , entonces como $x$ tiende a $\pm\infty$ , $f(x)$ tiende a $\pm p_n$ Así que $f(x)$ está acotado. Pero si $f(x)$ es monótona para un tamaño suficiente de $|x|$ o acotado, entonces $f$ no se puede hacer un mapa $\Bbb{N}$ en $\Bbb{Q}$ .

Answer 3

Si por bonito se entiende una función analítica, seguro que la hay. Existe un resultado del análisis complejo que afirma que si $\lim_{n\to\infty} c_n=\infty$ y $a_n$ es una secuencia de números complejos entonces hay una función analítican $f$ tal que $f(c_n) = a_n$ . Ahora dejemos que $c_n = n$ y $a_n$ sea una enumeración de $\mathbb Q$ entonces este resultado garantiza la existencia de dicha función.